【題目】已知橢圓的焦距為2,且過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)為的左焦點,點為直線上任意一點,過點作的垂線交于兩點,
(。┳C明:平分線段(其中為坐標原點);
(ⅱ)當(dāng)取最小值時,求點的坐標.
【答案】(1)(2)(。┮娊馕觯áⅲc的坐標為.
【解析】
(1)由題意得,再由的關(guān)系求出,即可得橢圓的標準方程;
(2)(i)設(shè),的中點為,,設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程中,運用根與系數(shù)的關(guān)系和中點坐標公式,結(jié)合三點共線的方法:斜率相等,即可得證;
(ii)利用兩點間的距離公式及弦長公式將表示出來,由換元法的對勾函數(shù)的單調(diào)性,可得取最小值時的條件獲得等量關(guān)系,從而確定點的坐標.
解:(1)由題意得, ,所以,
所以橢圓方程為
(2)設(shè), 的中點為,
(ⅰ)證明:由,可設(shè)直線的方程為,
代入橢圓方程,得,
所以,
所以,則直線的斜率為,
因為,所以,
所以三點共線,所以平分線段;
(ii)由兩點間的距離公式得
由弦長公式得
所以,
令,則,由在上遞增,可得,即時,取得最小值4,
所以當(dāng)取最小值時,點的坐標為
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【題目】已知兩點,,給出下列曲線方程:(1);(2);(3);(4),在曲線上存在點滿足的所有曲線是( )
A.(1)(2)(3)(4)B.(2)(3)
C.(1)(4)D.(2)(3)(4)
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【題目】依據(jù)某地某條河流8月份的水文觀測點的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)所繪制的頻率分布直方圖如圖(甲)所示;依據(jù)當(dāng)?shù)氐牡刭|(zhì)構(gòu)造,得到水位與災(zāi)害等級的頻率分布條形圖如圖(乙)所示.
試估計該河流在8月份水位的中位數(shù);
(1)以此頻率作為概率,試估計該河流在8月份發(fā)生1級災(zāi)害的概率;
(2)該河流域某企業(yè),在8月份,若沒受1、2級災(zāi)害影響,利潤為500萬元;若受1級災(zāi)害影響,則虧損100萬元;若受2級災(zāi)害影響則虧損1000萬元.
現(xiàn)此企業(yè)有如下三種應(yīng)對方案:
方案 | 防控等級 | 費用(單位:萬元) |
方案一 | 無措施 | 0 |
方案二 | 防控1級災(zāi)害 | 40 |
方案三 | 防控2級災(zāi)害 | 100 |
試問,如僅從利潤考慮,該企業(yè)應(yīng)選擇這三種方案中的哪種方案?說明理由.
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【題目】已知為等差數(shù)列,各項為正的等比數(shù)列的前項和為,,,__________.在①;②;③這三個條件中任選其中一個,補充在橫線上,并完成下面問題的解答(如果選擇多個條件解答,則以選擇第一個解答記分).
(1)求數(shù)列和的通項公式;
(2)求數(shù)列的前項和.
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【題目】在①.②的面積,③這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,問題中的是否為等邊三角形,請說明理由.在中,分別為內(nèi)角的對邊,且,________,試判斷是否為等邊三角形?(注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分)
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【題目】設(shè)點M是棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中點,點P在面BCC1B1所在的平面內(nèi),若平面D1PM分別與平面ABCD和平面BCC1B1所成的銳二面角相等,則點P到點C1的最短距離是( )
A.B.C.1D.
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【題目】某學(xué)生將語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物科的作業(yè)安排在周六、周日完成,要求每天至少完成兩科,且數(shù)學(xué)、物理作業(yè)不在同一天完成,則完成作業(yè)的不同順序種數(shù)為______.
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【題目】在一次考試中,某班級50名學(xué)生的成績統(tǒng)計如下表,規(guī)定75分以下為一般,大于等于75分小于85分為良好,85分及以上為優(yōu)秀.
分數(shù) | 69 | 73 | 74 | 75 | 77 | 78 | 79 | 80 | 82 | 83 | 85 | 87 | 89 | 93 | 95 | 合計 |
人數(shù) | 2 | 4 | 4 | 2 | 3 | 4 | 6 | 3 | 3 | 4 | 4 | 5 | 2 | 3 | 1 | 50 |
經(jīng)計算,樣本的平均值,標準差.為評判該份試卷質(zhì)量的好壞,從其中任取一人,記其成績?yōu)?/span>X,并根據(jù)以下不等式進行評判:
①;
②;
③.
評判規(guī)則:若同時滿足上述三個不等式,則被評為優(yōu)秀試卷;若僅滿足其中兩個不等式,則被評為合格試卷;其他情況,則被評為不合格試卷.
(1)試判斷該份試卷被評為哪種等級;
(2)按分層抽樣的方式從3個層次的學(xué)生中抽出10名學(xué)生,再從抽出的10名學(xué)生中隨機抽出4人進行學(xué)習(xí)方法交流,用隨機變量表示4人中成績優(yōu)秀的人數(shù),求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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