【題目】如圖，已知橢圓（）與圓：在第一象限相交于點，橢圓的左、右焦點，都在圓上，且線段為圓的直徑.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過點的動直線與橢圓交于，兩點，為坐標(biāo)原點，證明：為定值，并求出這個定值.

【答案】（1）；（2）證明見解析，定值為.

【解析】

（1）由圓的方程可得與軸的交點坐標(biāo)即橢圓的焦點坐標(biāo)，和圓的半徑，由題意可得的值，再由存在求出，再由橢圓的定義可得橢圓的方程；

（2）分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論，設(shè)直線的方程與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求出數(shù)量積的值為定值．

解：（1）在圓的方程中，令，得，即，所以.

將圓的方程化為，則圓半徑為，所以.

連結(jié)，因為點在圓上，為圓的直徑，則.

又，則.

據(jù)橢圓定義，，則.

從而，所以橢圓的方程是；

（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的斜率為，則的方程為，代入橢圓方程，得

，即.

設(shè)點，.則，.

所以

，

當(dāng)的斜率不存在時，直線與軸重合，此時點，，，

綜上分析，為定值．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓，點是它的右端點，弦過橢圓的中心，，.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)、為圓上不重合的兩點，的平分線總是垂直于軸，且存在實數(shù)，使得，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（）若，求在處的切線方程．

（）求在區(qū)間上的最小值．

（）若在區(qū)間上恰有兩個零點，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為()，將曲線向左平移2個單位長度得到曲線.

（1）求曲線的普通方程和極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線與曲線交于兩點，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，其中，.

（1）若，求的極值；

（2）若曲線與直線有三個互異的公共點，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某銷售公司在當(dāng)?shù)?/span>、兩家超市各有一個銷售點，每日從同一家食品廠一次性購進(jìn)一種食品，每件200元，統(tǒng)一零售價每件300元，兩家超市之間調(diào)配食品不計費用，若進(jìn)貨不足食品廠以每件250元補貨，若銷售有剩余食品廠以每件150回收.現(xiàn)需決策每日購進(jìn)食品數(shù)量，為此搜集并整理了、兩家超市往年同期各50天的該食品銷售記錄，得到如下數(shù)據(jù)：

銷售件數(shù)

8

9

10

11

頻數(shù)

20

40

20

20

以這些數(shù)據(jù)的頻數(shù)代替兩家超市的食品銷售件數(shù)的概率，記表示這兩家超市每日共銷售食品件數(shù)，表示銷售公司每日共需購進(jìn)食品的件數(shù).

（1）求的分布列；

（2）以銷售食品利潤的期望為決策依據(jù)，在與之中選其一，應(yīng)選哪個？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某廠加工的零件按箱出廠，每箱有10個零件，在出廠之前需要對每箱的零件作檢驗，人工檢驗方法如下：先從每箱的零件中隨機(jī)抽取4個零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，則停止檢驗；若抽取的零件至少有1個至多有3個次品，則對剩下的6個零件逐一檢驗.已知每個零件檢驗合格的概率為0.8，每個零件是否檢驗合格相互獨立，且每個零件的人工檢驗費為2元.

（1）設(shè)1箱零件人工檢驗總費用為元，求的分布列；

（2）除了人工檢驗方法外還有機(jī)器檢驗方法，機(jī)器檢驗需要對每箱的每個零件作檢驗，每個零件的檢驗費為1.6元.現(xiàn)有1000箱零件需要檢驗，以檢驗總費用的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，在人工檢驗與機(jī)器檢驗中，應(yīng)該選擇哪一個？說明你的理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有一個“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何？”其意思為“今有水池1丈見方（即尺），蘆葦生長在水的中央，長出水面的部分為1尺.將蘆葦向池岸牽引，恰巧與水岸齊接（如圖所示）.試問水深、蘆葦?shù)拈L度各是多少？假設(shè)，現(xiàn)有下述四個結(jié)論：

①水深為12尺；②蘆葦長為15尺；③；④.

其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）

A.①③B.①③④C.①④D.②③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義在上的偶函數(shù)滿足，且，當(dāng)時，.已知方程在區(qū)間上所有的實數(shù)根之和為.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則__________，__________.

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