【題目】已知拋物線的焦點為F,A為C上異于原點的任意一點,以點F為圓心且過點A的圓M與x軸正半軸交于點B,AB的延長線交C于點D,AF的延長線交C于點E.
(1)若點A的縱坐標為4,求圓M的方程;
(2)若線段AD的中點為G,求證:軸;
(3)的面積是否存在最小值?若存在,請求出此最小值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1); (2)見解析;(3),理由見解析;
【解析】
(1)由題意求得點的坐標,求出圓心和半徑,寫出圓的方程;
(2)設(shè)出點的坐標,寫出的方程,與拋物線方程聯(lián)立,求得直線的方程,再由直線與拋物線方程聯(lián)立,利用中點坐標求得點的縱坐標,由此判斷軸;
(3)利用點的坐標表示的面積,利用基本不等式計算它的最小值.
解:(1)由題意,設(shè)點的坐標為 ,由,求得;又點的坐標為, ,∴圓的方程為 ;
(2)設(shè),的方程為 ,代入
得 所以 即 ;
又 ,故點的坐標為 ;
直線的方程為 ,即 ,代入 ,可得 ;
∴ ,
故 ,所以軸。
(3)由(2)知, ,
又 ,可得,
∴的面積為
(當且僅當時取“”),
所以的面積存在最小值,且此最小值為.
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【題目】某高中在校學(xué)生2000人為了響應(yīng)“陽光體育運動”號召,學(xué)校舉行了跑步和登山比賽活動每人都參加而且只參與了其中一項比賽,各年級參與比賽人數(shù)情況如表:
高一年級 | 高二年級 | 高三年級 | |
跑步 | a | b | c |
登山 | x | y | z |
其中a:b::3:5,全校參與登山的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的,為了了解學(xué)生對本次活動的滿意程度,現(xiàn)用分層抽樣方式從中抽取一個100個人的樣本進行調(diào)查,則高二年級參與跑步的學(xué)生中應(yīng)抽取
A. 6人B. 12人C. 18人D. 24人
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【題目】關(guān)于統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析,有以下幾個結(jié)論:①將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都減去同一個數(shù)后,方差沒有變化;②繪制頻率分布直方圖時,各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的組距;③一組數(shù)據(jù)的方差一定是正數(shù);④如圖是隨機抽取的200輛汽車通過某一段公路時的時速分布直方圖,根據(jù)這個直方圖,可以得到時速在的汽車大約是60輛.則這4個結(jié)論中錯誤的個數(shù)是( )
A.1B.2C.3D.4
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【題目】某班主任對全班50名學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和對待班級工作的態(tài)度進行了調(diào)查,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1所示.
表1
積極參加班級工作 | 不積極參加班級工作 | 合計 | |
學(xué)習(xí)積極性高 | 17 | 8 | 25 |
學(xué)習(xí)積極性一般 | 5 | 20 | 25 |
合計 | 22 | 28 | 50 |
(1)如果隨機從該班抽查一名學(xué)生,抽到積極參加班級工作的學(xué)生的概率是多少?抽到不積極參加班級工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生的概率是多少?
(2)試運用獨立性檢驗的思想方法學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對待班級工作的態(tài)度是否有關(guān)系?并說明理由.
參考表2
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | |
0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | ||
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.8 |
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【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=3,且Sn=nan+1-n2-n.
(1)求{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足,求{bn}的前n項和Tn.
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【題目】當今的學(xué)校教育非常關(guān)注學(xué)生身體健康成長,某地安順小學(xué)的教育行政主管部門為了了解小學(xué)生的體能情況,抽取該校二年級的部分學(xué)生進行兩分鐘跳繩次數(shù)測試,測試成績分成,,,四個部分,并畫出頻率分布直方圖如圖所示,圖中從左到右前三個小組的頻率分別為,,,且第一小組從左向右數(shù)的人數(shù)為5人.
求第四小組的頻率;
求參加兩分鐘跳繩測試的學(xué)生人數(shù);
若兩分鐘跳繩次數(shù)不低于100次的學(xué)生體能為達標,試估計該校二年級學(xué)生體能的達標率用百分數(shù)表示
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【題目】海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象,被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”,我國擁有世界上最深的海洋藍洞,若要測量如圖所示的藍洞的口徑,兩點間的距離,現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點,,測得,,,,則,兩點的距離為___.
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【題目】為提高學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)的興趣,南京港師范大學(xué)附屬中學(xué)擬開設(shè)《數(shù)學(xué)史》、《微積分先修課程》、《數(shù)學(xué)探究》、《數(shù)學(xué)建!匪拈T校本選修課程,甲、乙、丙三位同學(xué)打算在上述四門課程中隨機選擇一門進行學(xué)習(xí),已知三人選擇課程時互不影響,且每人選擇每一門課程都是等可能的.
(1)求三位同學(xué)選擇的課程互不相同的概率:
(2)求甲、乙兩位同學(xué)不能選擇同一門課程,求三人共有多少種不同的選課種數(shù);
(3)若至少有兩位同學(xué)選擇《數(shù)學(xué)史》,求三人共有多少種不同的選課種數(shù).
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