Question

14．在我國南宋數學家楊輝所著的《詳解》（1261年）一書中，用如圖（1）的三角形，解釋二項和的乘方規(guī)律．在歐洲直到1623年以后，法國數學家布萊士•帕斯卡的著作（1655年）介紹了這個三角形．近年來國外也逐漸承認這項成果屬于中國，所以有些書上稱這是“中國三角形”（ Chinese triangle）如圖（1），17世紀德國數學家萊布尼茨發(fā)現了“萊布尼茨三角形”如圖（2）．在楊輝三角中相鄰兩行滿足關系式：C_n^r+C_n^r+1=C_n+1^r+1，其中n是行數，r∈N．請類比上式，在萊布尼茲三角中相鄰兩行滿足的關系式是$\frac{1}{{C_{n+1}^1C_n^r}}=\frac{1}{{C_{n+2}^1C_{n+1}^r}}+\frac{1}{{C_{n+2}^1C_{n+1}^{r+1}}}$

Answer 1

分析 這是一個考查類比推理的題目，解題的關鍵是仔細觀察圖中給出的萊布尼茨三角形，并從三解數陣中，找出行與行之間數的關系，探究規(guī)律并其表示出來．

解答 解：類比觀察得，將萊布尼茨三角形的每一行都能提出倍數$\frac{1}{{C_{n+1}^1}}$，
而相鄰兩項之和是上一行的兩者相拱之數，所以類比式子$C_n^r+C_n^{r+1}=C_{n+1}^{r+1}$，有$\frac{1}{{C_{n+1}^1C_n^r}}=\frac{1}{{C_{n+2}^1C_{n+1}^r}}+\frac{1}{{C_{n+2}^1C_{n+1}^{r+1}}}$．
故答案為：$\frac{1}{{C_{n+1}^1C_n^r}}=\frac{1}{{C_{n+2}^1C_{n+1}^r}}+\frac{1}{{C_{n+2}^1C_{n+1}^{r+1}}}$．

點評 這是一道新運算類的題目，其特點一般是“新”而不“難”，處理的方法一般為：根據新運算的定義，將已知中的數據代入進行運算，易得最終結果．