Question

5．過(guò)點(diǎn)P（3，2）的直線l與x軸和y軸正半軸分別交于A、B．
（1）若P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求l的方程；
（2）若|PA|•|PB|最小時(shí)，求l的方程；
（3）若△AOB的面積S最小時(shí)，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出A，B的坐標(biāo)，直接由截距式方程得答案；
（2）設(shè)直線l的點(diǎn)斜式方程，求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入|PA|•|PB|的解析式，使用基本不等式，求出最小值，注意檢驗(yàn)等號(hào)成立條件；
（3）由題意設(shè)直線的截距式方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$（a，b＞0），可得 $\frac{3}{a}+\frac{2}$=1，由基本不等式可得ab≥24，可得△AOB的面積S≥12，可得此時(shí)直線的方程．

解答 解：（1）設(shè)A（a，0），B（0，b），
∵P（3，2）為AB的中點(diǎn)，
∴A（6，0），B（0，4），
∴由截距式得l的方程為：$\frac{x}{6}+\frac{y}{4}=1$，
即2x+3y-12=0；
（2）設(shè)所求直線的方程為y-2=k（x-3），由題意知k＜0，
令x=0可得y=2-3k，令y=0可得x=3-$\frac{2}{k}$，
即A（3-$\frac{2}{k}$，0），B（0，2-3k）．
∴|PA|•|PB|=$\sqrt{（\frac{4}{{k}^{2}}+4）（9+9{k}^{2}）}=\sqrt{72+36（{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）}$≥12，
當(dāng)且僅當(dāng)k²=1，即k=-1時(shí)取等號(hào)，|PA|•|PB|取最小值為12，
即直線l的方程為x+y-5=0；
（3）由題意設(shè)直線的截距式方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$（a，b＞0），
∵直線過(guò)P（3，2），
∴$\frac{3}{a}+\frac{2}=1$，
∴1=$\frac{3}{a}+\frac{2}$≥2$\sqrt{\frac{3}{a}•\frac{2}}$，∴ab≥24．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3}{a}=\frac{2}$即a=6且b=4時(shí)取等號(hào)，
∴△AOB的面積S=$\frac{1}{2}$ab≥12，
∴△AOB面積的最小值為12，此時(shí)直線l的方程為$\frac{x}{6}+\frac{y}{4}=1$，
即直線l的方程為2x+3y-12=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的截距式方程以及直線l的點(diǎn)斜式方程，涉及基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．