Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，圓經(jīng)過橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，.

（Ⅰ）求橢圓的方程和點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）過點(diǎn)的直線與圓相交于、兩點(diǎn)，過點(diǎn)與垂直的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)，求的面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)橢圓的方程為， 點(diǎn)P的坐標(biāo)為.(Ⅱ).

【解析】分析：（I）由題意計(jì)算可得， ， 則橢圓的方程為， 結(jié)合幾何性質(zhì)可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

（II）由題意可知直線l2的斜率存在，設(shè)l2的方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得， 由弦長(zhǎng)公式可得； 結(jié)合幾何關(guān)系和勾股定理可得， 則面積函數(shù)， 換元求解函數(shù)的值域可得△ABC的面積的取值范圍是．

詳解：（I）設(shè)，，

可知圓經(jīng)過橢圓焦點(diǎn)和上下頂點(diǎn)，得，

由題意知，得，

由，得，

所以橢圓的方程為，

點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

（II）由過點(diǎn)P的直線l2與橢圓相交于兩點(diǎn)，知直線l2的斜率存在，

設(shè)l2的方程為，由題意可知，

聯(lián)立橢圓方程，得，

設(shè)，則，得，

所以；

由直線l1與l2垂直，可設(shè)l1的方程為，即

圓心到l1的距離，又圓的半徑，

所以，

，

由即，得，

，

設(shè)，則，，

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取“＝”，

所以△ABC的面積的取值范圍是．