Question

5．已知函數(shù)f（x）=|x-10|+|x-20|，且滿足f（x）＜10a+10（a∈R）的解集不是空集．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求$a+\frac{4}{a^2}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意，f（x）＜10a+10解集不是空集，則有則（|x-10|+|x-20|）_min＜10a+10，從而求解a的范圍即可．
（2）由（1）可知a的范圍，利用基本不等式即可求最小值．

解答 解：（1）由題意，f（x）＜10a+10解集不是空集，即|x-10|+|x-20|＜10a+10，
則（|x-10|+|x-20|）_min＜10a+10成立，
解得：10＜10a+10，
∴a＞0，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，+∞）
（2）由（1）可知a＞0，
那么：求$a+\frac{4}{a^2}$=$\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{4}{a^2}≥3\root{3}{{\frac{a}{2}•\frac{a}{2}•\frac{4}{a^2}}}=3$
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}{2}=\frac{4}{a^2}$，即a=2時(shí)取等號．
故$a+\frac{4}{a^2}$的最小值為3．

點(diǎn)評 本題考查了絕對值恒成立的問題和基本不等式的運(yùn)用．屬于基礎(chǔ)題．