Question

（本題滿分14分）

已知函數．

（Ⅰ）若，求函數的零點；

（Ⅱ）若關于的方程在上有2個不同的解，求的取值范圍，并證明：．

 

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；

【解析】

試題分析：（Ⅰ）判斷函數零點個數的方法有兩種：一是結合零點存在性定理，利用函數的單調性、對稱性確定函數零點個數；二是利用函數圖象交點個數判斷方程根的個數或函數零點個數．本題需要求出零點，則只需解方程即可；（Ⅱ）方法一可利用二次函數與二次方程根的分布可以得到，然后再將兩根用k表示出，轉化成函數取值范圍問題，方法二，分離參數，有數形結合可以證明.

試題解析：（Ⅰ） 2分

若 ，令，

得 ,

若，令 ，得 ，

綜上，函數 的零點為 . 5分

（2）， 6分

因為方程在上至多有1個實根，方程，在上至多有一個實根，結合已知，可得方程在上的兩個解中的1個在，1個在.不妨設，，

法一：設

數形結合可分析出，解得， 8分

，

，，

令，在上遞增，

當時，.因為，所以。 14分

法二：由 可知 作出的圖象，

可得 . 10分

且 ，故 14分

考點：函數零點及其綜合應用.