Question

（2012•寧德模擬）如圖所示，在矩形ABCD中，AB=3

5

，AD=6，BD是對(duì)角線，過A作AE⊥BD，垂足為O，交CD于E，以AE為折痕將△ADE向上折起，使點(diǎn)D到點(diǎn)P的位置．且PB=

41

．
（I）求證：PO⊥平面ABCE；
（n）求二面角E-AP-B的余弦值．

Answer 1

分析：（I）利用線面垂直的判定定理證明線面垂直，關(guān)鍵證明PO⊥OB，PO⊥AE；
（Ⅱ）過O作OH⊥AP于H，連接BH，則BH⊥AP，證明∠OHB為二面角E-AP-B的平面角，從而可求二面角E-AP-B的余弦值．

解答：（I）證明：∵矩形ABCD中，AB=3

5

，AD=6，BD是對(duì)角線，∴BD=9
∵AE⊥BD，∴Rt△AOD∽R(shí)t△BAD
∴

DO

AD

=

AD

BD

，∴DO=4，∴BO=5
在Rt△POB中，PB=

41

，PO=4，B0=5，∴PO²+BO²=PB²，
∴PO⊥OB，
∵PO⊥AE，AE∩OB=O
∴PO⊥平面ABCE；
（Ⅱ）解：∵OB⊥平面AOP，過O作OH⊥AP于H，連接BH，則BH⊥AP
∴∠OHB為二面角E-AP-B的平面角
∵OB=5，OH=

4 5

3

∴tan∠OHB=

3 5

4

，
∴cos∠OHB=

4 61

61

即二面角E-AP-B的余弦值為

4 61

61

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查面面角，解題的關(guān)鍵是正確作出面面角，正確運(yùn)用線面垂直的判定定理．