Question

5．若對于?x＞0，$\frac{x}{（x+1）^{2}}$≤a恒成立，則a的取值范圍是[$\frac{1}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 ?x＞0，$\frac{x}{（x+1）^{2}}$≤a恒成立，即函數(shù)f（x）=$\frac{x}{（x+1）^{2}}$的最大值小于等于a，利用導(dǎo)數(shù)當(dāng)研究函數(shù)的最值，可得答案．

解答 解：∵對于?x＞0，$\frac{x}{（x+1）^{2}}$≤a恒成立，
故函數(shù)f（x）=$\frac{x}{（x+1）^{2}}$的最大值小于等于a，
∵f′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{{（x+1）}^{4}}$，
故當(dāng)x＜-1時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，且恒為負(fù)，
當(dāng)-1＜x≤1時，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，且恒為正，
當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，且恒為正，
即x=1時，函數(shù)有最大值$\frac{1}{4}$
故a的取值范圍是：[$\frac{1}{4}$，+∞），
故答案為：[$\frac{1}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了全稱命題，函數(shù)恒成立，難度中檔．