Question

若對(duì)任意x∈A，y∈B，（A⊆R，B⊆R）有唯一確定的f（x，y）與之對(duì)應(yīng)，則稱f（x，y）為關(guān)于x，y的二元函數(shù)．
定義：滿足下列性質(zhì)的二元函數(shù)f（x，y）為關(guān)于實(shí)數(shù)x，y的廣義“距離”：
（1）非負(fù)性：f（x，y）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)；
（2）對(duì)稱性：f（x，y）=f（y，x）；
（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）對(duì)任意的實(shí)數(shù)z均成立．
給出三個(gè)二元函數(shù)：①f（x，y）=（x-y）²；②f（x，y）=|x-y|； ③f（x，y）=

x-y

．
請(qǐng)選出所有能夠成為關(guān)于x，y的廣義“距離”的序號(hào)

②

．

Answer 1

分析：利用函數(shù)f（x，y）為關(guān)于實(shí)數(shù)x、y的廣義“距離“的定義需滿足三個(gè)條件對(duì)各個(gè)函數(shù)判斷是否具有這三個(gè)性質(zhì)．

解答：解：對(duì)于①，不妨令x-y=2，則有x-

x+y

2

=

x+y

2

-y=1，此時(shí)有（x-y）²=4，而　（x-

x+y

2

）²=（

x+y

2

-y）²=1，故f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）不成立，所以不滿足三角不等式，故①不滿足
對(duì)于②，f（x，y）=|x-y|≥0滿足（1）；f（x，y）=|x-y|=f（y，x）=|y-x|滿足（2）；f（x，y）=|x-y|=|（x-z）+（z-y）|≤|x-z|+|z-y|=f（x，z）+f（z，y）滿足（3），故②能夠成為關(guān)于的x、y的廣義“距離”的函數(shù)
對(duì)于③，由于x-y＞0時(shí)，f(y，x)=

y-x?

無(wú)意義，故③不滿足
故答案為：②

點(diǎn)評(píng)：本題考查理解題中的新定義，利用定義解題是近幾年的高考中是�？嫉念}型，要注意．解題的關(guān)鍵是要把已知的定義轉(zhuǎn)化為解題的工具．