煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵而造成環(huán)境污染.已知A、B兩座煙囪相距3km,其中A煙囪噴出的煙塵量是B煙囪的8倍,經(jīng)環(huán)境檢測表明:落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪距離的平方成反比,而與煙囪噴出的煙塵量成正比.(比例系數(shù)為k).若C是連接兩煙囪的線段AB上的點(不包括端點),設AC=xkm,C點的煙塵濃度記為y.
(Ⅰ)寫出y關于x的函數(shù)表達式;
(Ⅱ)是否存在這樣的點C,使該點的煙塵濃度最低?若存在,求出AC的距離;若不存在,說明理由.
分析:(1)設B處煙塵量為1,則A處煙塵量為8,根據(jù)煙塵濃度與到煙囪距離的關系可求得A、B在C處的煙塵濃度,然后兩者相加可得y關于x的函數(shù).
(2)對(1)中函數(shù)進行求導,然后令導函數(shù)等于0求x的值,然后判斷原函數(shù)的單調(diào)性進而可求得最小值.
解答:解:(1)設B處煙塵量為1,則A處煙塵量為8,
∴A在C處的煙塵濃度為
8k
x2

B在C處的煙塵濃度為
k
(3-x)2
.其中0<x<3.
從而處總的煙塵濃度為y=
8k
x2
+
k
(3-x)2
.(0<x<3);
(2)由y′=-
16k
x3
+
2k
(3-x)3
=
18k(x-2)(x2-6x+12)
x3(3-x)3
=0
,
解得x=2.
故當0<x<2時,y′<0,原函數(shù)單調(diào)遞減.當2<x<3時y′>0,原函數(shù)單調(diào)遞增.
∴x=2時,y取得極小值,且是最小值.
答:在連接西煙囪的線段AB上,距煙囪A處2km處的煙塵濃度最低.
點評:本題主要考查根據(jù)導數(shù)求函數(shù)的最值的問題.屬基礎題.
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科目:高中數(shù)學 來源:2007年廣東省湛江市高考數(shù)學二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

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