Question

6．已知函數(shù)f（x）=-x²+2|x-a|，x∈R．
（1）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）在x=-1取得最大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）若函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由偶函數(shù)的定義，可得f（-x）=f（x），化簡整理可得a=0；
（2）去絕對(duì)值，運(yùn)用分段函數(shù)的形式，寫出f（x），討論當(dāng)a≥1時(shí)，當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，當(dāng)a≤-1時(shí)，考慮最大值，解不等式即可得到a的范圍；
（3）去絕對(duì)值，運(yùn)用分段函數(shù)的形式，寫出f（x），討論兩個(gè)二次函數(shù)的判別式，等于0或大于0，解方程（或不等式）即可得到a的值．

解答 解：（1）任取x∈R，則f（-x）=f（x）恒成立，
即-（-x）²+2|-x-a|=-x²+2|x-a|恒成立，
∴|x-a|=|x+a|恒成立，
兩邊平方得：x²-2ax+a²=x²+2ax+a²，
∴a=0；
（2）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x-2a，x≥a\\-{x^2}-2x+2a，x＜a\end{array}\right.$，因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）在x=-1時(shí)取得最大值，
當(dāng)a≥1時(shí)，必須f（-1）≥f（a），即1+2a≥-a²+2a-2a，即（a+1）²≥0，所以a≥1適合題意；
當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，必須f（-1）≥f（1），即1+2a≥1-2a，即a≥0，所以0≤a＜1適合題意；
當(dāng)a≤-1時(shí)，因?yàn)閒（-1）＜f（1），不合題意，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，+∞）．
（3）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x-2a，x≥a\\-{x^2}-2x+2a，x＜a\end{array}\right.$，
${△_1}={2^2}-4（{-1}）（{-2a}）=4-8a$，${△_2}={（{-2}）^2}-4（{-1}）（{2a}）=4+8a$，
當(dāng)△₁=0時(shí)，$a=\frac{1}{2}$，此時(shí)函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x-1，x＞\frac{1}{2}\\-{x^2}-2x+1，x＜\frac{1}{2}\end{array}\right.$有三個(gè)零點(diǎn)1，$-1±\sqrt{2}$；
當(dāng)△₂=0時(shí)，$a=-\frac{1}{2}$，此時(shí)函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x+1，x≥-\frac{1}{2}\\-{x^2}-2x-1，x＜-\frac{1}{2}\end{array}\right.$有三個(gè)零點(diǎn)$-1，1±\sqrt{2}$；
當(dāng)△₁＞0，△₂＞0時(shí)，即$-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{2}$時(shí)，方程-x²+2x-2a=0的兩根為$x=1±\sqrt{1-2a}$，
方程-x²-2x+2a=0的兩根為$x=-1±\sqrt{1+2a}$，
因?yàn)?-1-\sqrt{1+2a}＜-1＜a$，所以$1-\sqrt{1-2a}≥a$且$-1+\sqrt{1+2a}≥a$，解得a=0，
或者$1-\sqrt{1-2a}＜a$且$-1+\sqrt{1+2a}＜a$，此時(shí)無解，
綜上得$a=±\frac{1}{2}$或0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性和最值，以及零點(diǎn)問題的解法，注意運(yùn)用定義法和分類討論思想方法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．