Question

在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓E：的左、右頂點(diǎn)分別為、，上、下頂點(diǎn)分別為、．設(shè)直線的傾斜角的正弦值為，圓與以線段為直徑的圓關(guān)于直線對稱．

（1）求橢圓E的離心率；
（2）判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若圓的面積為，求圓的方程．

Answer 1

（1），（2）相切，（3）.

試題分析：（1）求橢圓E的離心率，只需列出關(guān)于的一個(gè)等量關(guān)系就可解出. 因?yàn)橹本�的傾斜角的正弦值為，所以，即，（2）判斷直線與圓的位置關(guān)系，通常利用圓心到直線距離與半徑大小比較. 因?yàn)橹本�的傾斜角的正弦值為，所以直線的斜率為于是的方程為：，因此中點(diǎn)到直線距離為所以直線與圓相切,又圓與以線段為直徑的圓關(guān)于直線對稱，直線與圓相切．（3）由圓的面積為知圓半徑為1，所以設(shè)關(guān)于直線：的對稱點(diǎn)為，則解得．所以，圓的方程為．
【解】（1）設(shè)橢圓E的焦距為2c（c>0），
因?yàn)橹本�的傾斜角的正弦值為，所以，
于是，即，所以橢圓E的離心率  
（2）由可設(shè)，，則，
于是的方程為：，
故的中點(diǎn)到的距離，         又以為直徑的圓的半徑，即有，
所以直線與圓相切．
（3）由圓的面積為知圓半徑為1，從而，         
設(shè)的中點(diǎn)關(guān)于直線：的對稱點(diǎn)為，
則
解得．所以，圓的方程為．