Question

在直三棱柱中，AA₁=AB=BC=3，AC=2，D是AC中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)B₁到平面A₁BD的距離；
（2）求二面角A₁-DB-B₁的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）首先建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出平面的法向量，然后利用點(diǎn)面之間的距離公式求出結(jié)果．
（2）直接求出平面B₁BD的法向量，利用（1）中的法向量，利用向量的夾角求出結(jié)果．

解答： 解：（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DC為x軸，以DB為y軸，
以過D點(diǎn)垂直于AC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AA₁=AB=BC=3，AC=2，D是AC的中點(diǎn)，
∴A₁（-1，0，3），B（0，2

2

，0），D（0，0，0），B₁（0，2

2

，3），
∴

DA1

=（-1，0，3），

DB

=（0，0），

DB1

=（0，2

2

，3），
設(shè)平面A₁BD的法向

n

=（x，y，z），
則：

-x+3z=0 2 2 y=0

解得：

n

=（3，0，1），
∴d=

| n • DB1 |

| n |

=

3 10

10

．
（2）首先利用DC⊥平面B₁BD，則設(shè)平面B₁BD的法向量為：

DC

=（1，0，0），
∴cos＜

DC

，

n

＞=|

DC • n

| DC |•| . n |

|=

3 10

10

∴二面角A₁-DB-B₁的余弦值

3 10

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：空間直角坐標(biāo)系，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的夾角，點(diǎn)面之間的距離，二面角的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題型．