【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),(A>0,ω>0,|φ|< )的圖象與y軸的交點為( ),它在y軸右側(cè)的第一個最高點和最低點分別為(x0 , 3),(x0+2π,﹣3).
(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)該函數(shù)的圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?
(3)求這個函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和對稱中心.

【答案】
(1)解:由題意可得A=3,

由在y軸右側(cè)的第一個最大值點和最小值點分別為(x0,3),(x0+2π,﹣3),得: ,

∴T=4π,從而 ,可得:f(x)=3sin( x+φ),

又圖象與y軸交于點 ,

,

∵由于

,

∴函數(shù)的解析式為


(2)解:將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移 個單位,再將得函數(shù)的圖象縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長為原來的兩倍,

最后將所得函數(shù)的圖象橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長為原來的3倍得到函數(shù) 的圖象


(3)解:令2kπ﹣ x+ ≤2kπ﹣ ,k∈Z,解得x∈ ,可得函數(shù)的遞增區(qū)間為:

x+ =kπ,k∈Z,可得:x=2kπ﹣ ,k∈Z,可得函數(shù)的對稱中心:


【解析】(1)由題意可得A,T,利用周期公式可求ω,又圖象與y軸交于點 ,結(jié)合范圍 ,可求φ,可得函數(shù)的解析式.(2)根據(jù)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律即可得解.(3)令2kπ﹣ x ≤2kπ﹣ ,k∈Z,解得函數(shù)的遞增區(qū)間,令 x+ =kπ,k∈Z,可得函數(shù)的對稱中心:
【考點精析】通過靈活運用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換,掌握圖象上所有點向左(右)平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的倍(橫坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象即可以解答此題.

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