精英家教網(wǎng)如圖，在△ABC中，B=90°，AC=
15
2
，D、E兩點分別在AB、AC上．使
AD
DB
=
AE
EC
=2，DE=3．現(xiàn)將△ABC沿DE折成直二角角，求
（Ⅰ）異面直線AD與BC的距離；
（Ⅱ）二面角A-EC-B的大�。ㄓ梅慈呛瘮�(shù)表示）．
分析：（1）先依據(jù)公垂線的定義，證明DB為異面直線AD與BC的公垂線，再求DB之長，注意到它是AB長的
1
3
倍，故先求出AB的長即可；
（2）過D作DF⊥CE，交CE的延長線于F，先證得∠AFD為二面角A-BC-B的平面角，再利用直角三角形中的邊角關系求出其正切值即得．
解答：解：（Ⅰ）在圖1中，因
AD
DB
=
AE
CE
，故BE∥BC．又因B=90°，從而AD⊥DE．
精英家教網(wǎng)
在圖2中，因A-DE-B是直二面角，AD⊥DE，故AD⊥底面DBCE，
從而AD⊥DB．而DB⊥BC，故DB為異面直線AD與BC的公垂線．
下求DB之長．在圖1中，由
AD
CB
=
AE
BC
=2，得
DE
BC
=
AD
AB
=
2
3

又已知DE=3，從而BC=
3
2
DE=
9
2
．AB=
AC2-BC2
=
(
15
2
)2-(
9
2
)2
=6．因
DB
AB
=
1
3
，故DB=2．
（Ⅱ）在第圖2中，過D作DF⊥CE，交CE的延長線于F，連接AF．由（1）知，
AD⊥底面DBCE，由三垂線定理知AF⊥FC，故∠AFD為二面角A-BC-B的平面
角．在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE，DB=2，EC=
1
3
•
15
2
=
5
2
，
因此sinBCE=
DB
EC
=
4
5
．從而在Rt△DFE中，DE=3，DF=DEsinDEF=DEsinBCE=3•
4
5
=
12
5
．
在Rt△AFD中，AD=4，tanAFD=
AD
DF
=
5
3
．
因此所求二面角A-EC-B的大小為arctan
5
3
．
點評：本小題主要考查直線與平面平行、二面角等基礎知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在△ABC中，已知∠ABC=90°，AB上一點E，以BE為直徑的⊙O恰與AC相切于點D，若AE=2cm，
AD=4cm．
（1）求：⊙O的直徑BE的長；
（2）計算：△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在△ABC中，D是邊AC上的點，且AB=AD，2AB=
3
BD，BC=2BD，則sinC的值為（　�。�
A、
3
3
B、
3
6
C、
6
3
D、
6
6

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，設
AB
=a，
AC
=b，AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點恰為P．
（Ⅰ）若
AP
=λa+μb，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC為鄰邊，AP為對角線，作平行四邊形ANPM，求平行四邊形ANPM和三角形ABC的面積之比
S平行四邊形ANPM
S△ABC
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，∠B=45°，D是BC邊上的一點，AD=5，AC=7，DC=3．
（1）求∠ADC的大�。�
（2）求AB的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，已知
BD
=2
DC
，則
AD
=（　�。�

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