【題目】如圖,四棱錐中,四邊形是邊長為2的菱形,,.
(1)證明:平面平面;
(2)當直線與平面所成的角為30°時,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)作,余弦定理得,在同一平面內(nèi)用“數(shù)據(jù)說話”,證用線面垂直的性質(zhì)可證平面平面;
(2)以為原點建立空間直角坐標系,使用空間向量求二面角的平面角即可.
(1)過點作,垂足為,連結(jié),.
在中,由,得,.
在中,由余弦定理得,
即,又,所以,即.
又,所以平面.
又平面,所以平面平面.
(2)由(1)知,為直線與底面所成角,則,所以.
以為原點,建立空間直角坐標系如圖所示,則,,,,所以,,
由于,所以.
設(shè)平面的法向量為,則,即,解得,
令得.
顯然平面的一個法向量為,
所以,
即平面與平面所成二面角的余弦值為.
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【題目】教材曾有介紹:圓上的點處的切線方程為。我們將其結(jié)論推廣:橢圓上的點處的切線方程為,在解本題時可以直接應(yīng)用。已知,直線與橢圓有且只有一個公共點.
(1)求的值;
(2)設(shè)為坐標原點,過橢圓上的兩點、分別作該橢圓的兩條切線、,且與交于點。當變化時,求面積的最大值;
(3)在(2)的條件下,經(jīng)過點作直線與該橢圓交于、兩點,在線段上存在點,使成立,試問:點是否在直線上,請說明理由.
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【題目】“互倒函數(shù)”的定義如下:對于定義域內(nèi)每一個,都有成立,若現(xiàn)在已知函數(shù)是定義域在的“互倒函數(shù)”,且當時,成立.若函數(shù)()都恰有兩個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍是( )
A.B.C.D.
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【題目】已知函數(shù),其中,.
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),其中為常數(shù).
(1)若直線是曲線的一條切線,求實數(shù)的值;
(2)當時,若函數(shù)在上有兩個零點.求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】為了解甲、乙兩個快遞公司的工作狀況,假設(shè)同一個公司快遞員的工作狀況基本相同,現(xiàn)從甲、乙兩公司各隨機抽取一名快遞員,并從兩人某月(30天)的快遞件數(shù)記錄結(jié)果中隨機抽取10天的數(shù)據(jù),整理如下:
甲公司員工:410,390,330,360,320,400,330,340,370,350
乙公司員工:360,420,370,360,420,340,440,370,360,420
每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務(wù)費情況如下:甲公司規(guī)定每件0.65元,乙公司規(guī)定每天350件以內(nèi)(含350件)的部分每件0.6元,超出350件的部分每件0.9元.
(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)寫出甲公司員工在這10天投遞的快件個數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù);
(2)為了解乙公司員工每天所得勞務(wù)費的情況,從這10天中隨機抽取1天,他所得的勞務(wù)費記為 (單位:元),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)根據(jù)題中數(shù)據(jù)估算兩公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費.
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【題目】“互聯(lián)網(wǎng)”是“智慧城市”的重要內(nèi)士,市在智慧城市的建設(shè)中,為方便市民使用互聯(lián)網(wǎng),在主城區(qū)覆蓋了免費.為了解免費在市的使用情況,調(diào)査機構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進行了問卷調(diào)查,并從參與調(diào)査的網(wǎng)友中抽取了人進行抽樣分析,得到如下列聯(lián)表(單位:人):
經(jīng)常使用免費WiFi | 偶爾或不用免費WiFi | 合計 | |
45歲及以下 | 70 | 30 | 100 |
45歲以上 | 60 | 40 | 100 |
合計 | 130 | 70 | 200 |
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),判斷是否有的把握認為市使用免費的情況與年齡有關(guān);
(2)將頻率視為概率,現(xiàn)從該市歲以上的市民中用隨機抽樣的方法每次抽取人,共抽取次.記被抽取的人中“偶爾或不用免費”的人數(shù)為,若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的,求的分布列,數(shù)學(xué)期望和方差.
附:,其中.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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