精英家教網(wǎng)已知直線(xiàn)l的方程為x=-2,且直線(xiàn)l與x軸交于點(diǎn)M,
圓O:x2+y2=1與x軸交于A,B兩點(diǎn).
(Ⅰ)過(guò)M點(diǎn)的直線(xiàn)l1交圓于P、Q兩點(diǎn),且圓孤PQ恰為圓周的
14
,求直線(xiàn)l1的方程;
(Ⅱ)求以l為準(zhǔn)線(xiàn),中心在原點(diǎn),且與圓O恰有兩個(gè)公共點(diǎn)的橢圓方程;
(Ⅲ)過(guò)M點(diǎn)的圓的切線(xiàn)l2交(Ⅱ)中的一個(gè)橢圓于C、D兩點(diǎn),其中C、D兩點(diǎn)在x軸上方,求線(xiàn)段CD的長(zhǎng).
分析:(Ⅰ)有題意及所給的圖形,分析出點(diǎn)O到直線(xiàn)的距離為
2
2
,利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式列出直線(xiàn)關(guān)于斜率k的方程進(jìn)而求解即可;
(Ⅱ)由題意,設(shè)出所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程利用已知條件建立未知量的方程求解就行了;
(Ⅲ)由題意設(shè)出直線(xiàn)l2的方程,與(Ⅱ)中的橢圓方程聯(lián)立,設(shè)出點(diǎn)C與D的坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間的距離公式即可.
解答:解:(Ⅰ)∵PQ為圓周的
1
4
,∴∠POQ=
π
2
.∴O點(diǎn)到直線(xiàn)l1的距離為
2
2

設(shè)l1的方程為y=k(x+2),∴
|2k|
k2+1
=
2
2
,∴k2=
1
7
.∴l(xiāng)1的方程為y=±
7
7
(x+2)


(Ⅱ)設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,半焦距為c,則
a2
c
=2

∵橢圓與圓O恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),則a=1或b=1.
當(dāng)a=1時(shí),c=
1
2
,b2=a2-c2=
3
4
,∴所求橢圓方程為x2+
4y2
3
=1
;
當(dāng)b=1時(shí),b2+c2=2c,∴c=1,∴a2=b2+c2=2.∴所求橢圓方程為
x2
2
+y2=1


(Ⅲ)設(shè)切點(diǎn)為N,則由題意得,橢圓方程為
x2
2
+y2=1
,
在Rt△MON中,MO=2,ON=1,則∠NMO=30°,
∴l(xiāng)2的方程為y=
3
3
(x+2)
,代入橢圓
x2
2
+y2=1
中,整理得5x2+8x+2=0.
設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),則x1+x2=-
8
5
x1x2=
2
5
.∴CD=
(1+
1
3
)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
4
3
(
64
25
-
8
5
)
=
4
5
2
點(diǎn)評(píng):(Ⅰ)此問(wèn)重點(diǎn)考查了方程的思想,還考查了利用已知條件建立未知量的方程及解方程的技巧;
(Ⅱ)問(wèn)重點(diǎn)考查了方程的思想,還考查了橢圓的基本性質(zhì);
(Ⅲ)問(wèn)重點(diǎn)考查了直線(xiàn)與橢圓的方程進(jìn)行聯(lián)立及整體代換的思想,還考查了兩點(diǎn)間的距離公式.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2012•湛江一模)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知直線(xiàn)l的方程為
x=t-1
y=t+1
(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正方向?yàn)闃O軸的極坐標(biāo)中,圓的極坐標(biāo)方程為ρ=2,則l與該圓相交所得弦的弦長(zhǎng)為
2
2
2
2

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3
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x=2-4 t
y=1+3 t
,則直線(xiàn)l的斜率為
-
3
4
-
3
4

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已知直線(xiàn)l的方程為x-2y-2=0,數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=2,其前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)(an+1,Sn)在直線(xiàn)l上.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)在an和an+1之間插入n個(gè)數(shù),使這n+2個(gè)數(shù)組成公差為dn的等差數(shù)列,令Tn=
1
d1
+
1
d2
+…+
1
dn
,試證明Tn
15
16

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