函數(shù)y=Asin(ωx+?)(A>0,ω>0)在x∈(0,7π)內(nèi)取到一個(gè)最大值和一個(gè)最小值,且當(dāng)x=π時(shí),y有最大值3,當(dāng)x=6π時(shí),y有最小值-3.
(1)求此函數(shù)解析式;
(2)寫出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)是否存在實(shí)數(shù)m,滿足不等式Asin(ω
-m2+2m+3
)>Asin(ω
-m2+4
)?若存在,求出m值(或范圍),若不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)根據(jù)題意,函數(shù)的最值可以確定A,根據(jù)在x∈(0,7π)內(nèi)取到一個(gè)最大值和一個(gè)最小值,且當(dāng)x=π時(shí),y有最大值3,當(dāng)x=6π時(shí),y有最小值-3,可以確定函數(shù)的周期,從而求出ω的值和φ的值,從而求得函數(shù)的解析式;
(2)令 2kπ-
π
2
1
5
x+
10
≤2kπ+
π
2
,解此不等式,即可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)根據(jù)(1)所求得的ω和φ的值,分析ω
-m2+2m+3
ω
-m2+4
的范圍,確定函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性,即可求得結(jié)果.
解答:解:(1)∵當(dāng)x=π時(shí),y有最大值3,當(dāng)x=6π時(shí),y有最小值-3.
∴A=
1
2
[3-(-3)]=3,
T
2
=5π,
∴T=10π=
ω
,
∴ω=
10π
=
1
5
,
∵當(dāng)x=π時(shí),y有最大值3,
1
5
π+?=
π
2

∴?=
10
,
∴y=3sin(
1
5
x+
10
),
(2)令 2kπ-
π
2
1
5
x+
10
≤2kπ+
π
2
得10kπ-4π≤x≤10kπ+π,k∈Z
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為:{x|10kπ-4π≤x≤10kπ+π   k∈Z};
(3)∵ω=
1
5
,?=
10
,
∴ω
-m2+2m+3
+?=
1
5
-(m-1)2+4
+
10
∈(0,
π
2
),
ω
-m2+4
+?=
1
5
-m2+4
+
10
∈(0,
π
2
),
而y=sint在(0,
π
2
)上是增函數(shù)
1
5
-m2+2m+3
+
10
1
5
-m2+4
+
10

-m2+2m+3
-m2+4

-m2+2m+3≥0
-m2+4≥0
-m2+2m+3>-m2+4
,
-1≤m≤3
-2≤m≤2
m>
1
2
解得:
1
2
<m≤2

∴m的取值范圍是
1
2
<m≤2
點(diǎn)評(píng):本題考查根據(jù)y=Asin(ωx+φ)的圖象求函數(shù)的解析式以及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,問題(3)的設(shè)置,增加了題目的難度和新意,易錯(cuò)點(diǎn)在于對(duì)ω
-m2+2m+3
∈(0,
π
2
),ω
-m2+4
∈(0,
π
2
)的分析與應(yīng)用,考查靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力和運(yùn)算能力,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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若函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(ω>0)與x軸的兩個(gè)相鄰的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,0),(2,0),則ω=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,某地一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b,則8時(shí)的溫度大約為
 
°C(精確到1°C)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+C(A>0,ω>0,|φ|<
π2
)在同一周期中最高點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2),最低點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,-4).
(I)求A,C,ω,φ的值;
(II)求出這個(gè)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,是函數(shù)y=Asin(ωx+φ),(-π<φ<π)的圖象的一段,O是坐標(biāo)原點(diǎn),P是圖象的最高點(diǎn),A點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0),若|
OP
|=
10
,
OP
OA
=15
,則此函數(shù)的解析式為
y=sin(
π
4
x-
π
4
)
y=sin(
π
4
x-
π
4
)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:函數(shù)y=Asin(ωx+φ),在同一周期內(nèi),當(dāng)x=
π
12
時(shí)取最大值y=4;當(dāng)x=
12
時(shí),取最小值y=-4,那么函數(shù)的解析式為:( 。

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