【題目】(1)已知雙曲線的中心在原點,焦點在x軸上,實軸長為4,漸近線方程為.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(1)中雙曲線上一點P的直線分別交兩條漸近于兩點,且P是線段AB的中點,求證:為常數(shù);
(3)我們知道函數(shù)的圖象是由雙曲線的圖象逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到的,函數(shù)的圖象也是雙曲線,請嘗試寫出曲線的性質(zhì)(不必證明).
【答案】(1)(2)證明見解析(3)詳見解析
【解析】
(1)根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求得雙曲線的方程;
(2)方法一:設(shè)A,B點坐標(biāo),求得P點坐標(biāo),代入雙曲線方程,即可求得;
方法二:分類討論,設(shè)直線AB的方程,分別求得A和B點坐標(biāo),求得P點坐標(biāo),代入雙曲線方程,即可求得;
(3)根據(jù)曲線方程,分別求得曲線的性質(zhì).
(1)設(shè)雙曲線的方程為,由,
由雙曲線的漸近線方程為,則,則,
∴雙曲線的方程為:;
(2)法一:由題不妨設(shè),則,
則P在雙曲線上,代入雙曲線方程得
法二:當(dāng)直線AB的斜率不存在時,顯然,則;
當(dāng)直線AB的斜率存在時,設(shè)直線AB的方程為
則,則,
同理,則,
此時,,代入雙曲線方程得,則
(3)①對稱中心:原點,對稱軸方程:,
②頂點坐標(biāo)為,焦點坐標(biāo):,,
實軸長:,虛軸長:2b=2,焦距:2c=4;
③范圍:x≠0,,
④漸近線:.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是C1D1,CC1的中點,則異面直線AE與BF所成角的余弦值為( 。
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在三棱錐中,,,,,.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)為棱上一點,試確定點的位置,使得直線與平面所成角的正弦值為.
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【題目】某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了2017年1月至2019年12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯誤的是( 。
A.年接待游客量逐年增加
B.各年的月接待游客量高峰期大致在8月
C.2017年1月至12月月接待游客量的中位數(shù)為30萬人
D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月,波動性更小,變化比較平穩(wěn)
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【題目】如圖①在直角梯形ABCP中,,,,,E,F,G分別是線段PC,PD,BC的中點,現(xiàn)將折起,使平面平面ABCD如圖②.
(1)求證:平面EFG;
(2)求二面角G—EF—D的大小.
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【題目】已知點、為雙曲線的左、右焦點,過作垂直于軸的直線,在軸上方交雙曲線于點,且,圓的方程是.
(1)求雙曲線的方程;
(2)過雙曲線上任意一點作該雙曲線兩條漸近線的垂線,垂足分別為、,求的值;
(3)過圓上任意一點作圓的切線交雙曲線于、兩點,中點為,求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,某地出土的一種“釘”是由四條線段組成,其結(jié)構(gòu)能使它任意拋至水平面后,總有一端所在的直線豎直向上,并記組成該“釘”的四條線段的公共點為O,釘尖為.
⑴設(shè),當(dāng),,在同一水平面內(nèi)時,求與平面所成角的大小結(jié)果用反三角函數(shù)值表示.
⑵若該“釘”的三個釘尖所確定的三角形的面積為,要用某種線型材料復(fù)制100枚這種“釘”損耗忽略不計,共需要該種材料多少米?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于無窮數(shù)列,若對任意,滿足且(是與無關(guān)的常數(shù)),則稱數(shù)列為數(shù)列.
(1)若(),判斷數(shù)列是否為數(shù)列,說明理由;
(2)設(shè),求證:數(shù)列是數(shù)列,并求常數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè)數(shù)列(,),問數(shù)列是否為數(shù)列?說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知(),,其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若在(1)的條件下,當(dāng)取最大值時,求證: .
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