Question

12．從某學(xué)校的800名男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高，被測(cè)學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組[155，160），第二組[160，165），…，第八組[190，195]，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人．
（1）求第七組的頻率，并估計(jì)該校的800名男生的身高的中位數(shù)以及身高在180cm以上（含180cm）的人數(shù)；
（2）若從身高屬于第六組和第八組的男生中隨機(jī)抽取兩名男生，求他們的身高之差不超過(guò)5的概率．

Answer 1

分析 （1）先由第六組的人數(shù)除以樣本容量得到第六組的頻率，然后用1減去出第七組外各組的頻率和即可得到第七組的頻率；因?yàn)檫^(guò)中位數(shù)的直線兩側(cè)的矩形的面積相等，經(jīng)計(jì)算前三組的頻率和小于0.5，后四組的頻率和大于0.5，由此斷定中位數(shù)位于第四組，設(shè)出中位數(shù)m，由0.04+0.08+0.2+（m-170）×0.04=0.5即可求得中位數(shù)m的值；
（2）分別求出第六組和第八組的人數(shù)，利用列舉法列出從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生的總的方法，再根據(jù)古典概型的概率公式解之即可．

解答 解：（1）第六組的頻率為$\frac{4}{50}=0.08$，…1分
第七組的頻率為1-0.08-5×（0.08×2+0.016+0.04×2+0.06）=0.06…（3分）
易知中位數(shù)位于[170，175]之間設(shè)為m，則有（m-170）×0.04=0.5-0.32=0.18，m=174.5
身高在180cm以上（含180cm）的人數(shù)為0.18×800=144人…（6分）
（2）第六組[180，185）的人數(shù)為4人，設(shè)為a，b，c，d，
第八組[190，195]的人數(shù)為2人，設(shè)為A，B，
則從中抽取兩人有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB共15種情況，
因事件E={|x-y|≤5}發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)抽取的兩名男生在同一組，
所以事件E包含的基本事件為ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7種情況，
故$P=\frac{7}{15}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖，考查了列舉法求基本事件及事件發(fā)生的概率，解答此題的關(guān)鍵是明確頻率直方圖中各矩形的頻率和等于1，中位數(shù)是頻率分布直方圖中，過(guò)該點(diǎn)的直線把各矩形面積均分的點(diǎn)的橫坐標(biāo)，此題是基礎(chǔ)題．