Question

我們將具有下列性質(zhì)的所有函數(shù)組成集合M：函數(shù)y=f（x）（x∈D），對(duì)任意均滿足，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立．
（1）若定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）∈M，試比較f（3）+f（5）與2f（4）大�。�
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=-x²，求證：g（x）∈M．
（3）已知函數(shù)f（x）=log₂x∈M．試?yán)�用此結(jié)論解決下列問題：若實(shí)數(shù)m、n滿足2^m+2ⁿ=1，求m+n的最大值．

Answer 1

解：（1），即f（3）+f（5）≤2f（4）
但3≠5，所以f（3）+f（5）＜2f（4）
（若答案寫成f（3）+f（5）≤2f（4），扣一分） （4分）
（2）任取x，y∈R，則，，（6分）
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立，則g（x）∈M．（10分）
（3）設(shè)x=2^m，y=2ⁿ，則m=log₂x，n=log₂y．
由已知：函數(shù)f（x）=log₂x滿足
得，即，則m+n≤-2（14分）
當(dāng)且僅當(dāng)x=y，即，即m=n=-1時(shí)，m+n有最大值為-2．（16分）
分析：（1）根據(jù)對(duì)任意均滿足可得，化簡(jiǎn)可得結(jié)論；
（2）任取x，y∈R，然后計(jì)算的符號(hào)，從而判定是否滿足定義；
（3）設(shè)x=2^m，y=2ⁿ，則m=log₂x，n=log₂y，且m+n=1，而函數(shù)f（x）=log₂x滿足建立關(guān)系式可求出m+n的最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式研究函數(shù)的最值，屬于中檔題．