Question

平面內(nèi)動點到點的距離等于它到直線的距離，記點的軌跡為曲．

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）若點，，是上的不同三點，且滿足．證明： 不可能為直角三角形．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）利用向量的關(guān)系式來得到坐標關(guān)系式，然后借助于反證法來說明不成立。

【解析】

試題分析：解法一：（Ⅰ）由條件可知，點到點的距離與到直線的距離相等， 所以點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，其方程為．   4分

（Ⅱ）假設是直角三角形，不失一般性，設，

，，，則由，

，，

所以．          6分

因為，，，

所以．           8分

又因為，所以，，

所以．  ①

又，

所以，即． ②   10分

由①，②得，所以． ③

因為．

所以方程③無解，從而不可能是直角三角形．       12分

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）設，，，由，

得，．           6分

由條件的對稱性，欲證不是直角三角形，只需證明．

當軸時，，，從而，，

即點的坐標為．

由于點在上，所以，即，

此時，，，則．    8分

當與軸不垂直時，

設直線的方程為：，代入，

整理得：，則．

若，則直線的斜率為，同理可得：．

由，得，，．

由，可得．

從而，

整理得：，即，①

．

所以方程①無解，從而．           11分

綜合，， 不可能是直角三角形．         12分

考點：拋物線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

點評：本小題考查拋物線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想等