Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)在區(qū)間上的最值；

（2）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若不等式在區(qū)間上恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為；（2）或；（3）1.

【解析】

（1）求，判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，即求函數(shù)在區(qū)間上的最值；

（2）函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則或在上恒成立，即得實數(shù)的取值范圍；

（3）求出.分，，三種情況討論，求出不等式在區(qū)間上恒成立時，實數(shù)的取值范圍，即求的最小值.

（1）當時，，，

	0
			極小值
	0	單減		單增

顯然，

則函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為；

（2）當函數(shù)在上單調(diào)遞增時，

當且僅當，即恒成立，得；

當函數(shù)在上單調(diào)遞減時，

當且僅當，即恒成立，得；

綜上，若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，實數(shù)的取值范圍為或；

（3），且，

當時，在區(qū)間上，得；

當時，在區(qū)間上，得恒成立；

當時，由，故存在，

使得成立，

同時在區(qū)間上，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

，所以在區(qū)間上小于零.

綜上，不等式在區(qū)間恒成立時，.

的最小值為1.