Question

11．已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0，O為坐標原點．A，B是圓上兩點．
（1）直線AB的斜率為1，且滿足OA⊥OB，求滿足條件的直線l的方程；
（2）若OA⊥OB，求AB中點P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）設直線AB為y=x+m，由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2x+4y-4=0}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，得2x²+2（m+1）x+m²+4m-4=0，由此利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件能求出直線方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，利用點差法能求出AB中點P的軌跡方程．

解答 解：（1）設直線AB為y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2x+4y-4=0}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，得2x²+2（m+1）x+m²+4m-4=0，
△＞0，x₁+x₂=-m-1，x₁x2=$\frac{{m}^{2}+4m-4}{2}$，
y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+（x₁+x₂）m+m²=$\frac{{m}^{2}+2m-4}{2}$，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂═$\frac{{m}^{2}+4m-4}{2}$+$\frac{{m}^{2}+2m-4}{2}$=$\frac{2{m}^{2}+6m-8}{2}$=0，
解得m=1或m=-4，均滿足△＞0，
∴滿足條件的直線l的方程為y=x+1或y=x-4．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
由$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}-2{x}_{1}+4{y}_{1}-4=0}\\{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}-2{x}_{2}+4{y}_{2}-4=0}\end{array}\right.$，得（2x-2）（x₁-x₂）+（2y+4）（y₁-y₂）=0，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2-2x}{2y+4}$=$\frac{1-x}{y+2}$，
∵OA⊥OB，∴直線AB過圓心（1，-2），
∴k=$\frac{y+2}{x-1}$，
∴$\frac{1-x}{y+2}=\frac{y+2}{x-1}$，整理，得（x-1）²+（y+2）²=0，
∴AB中點P的軌跡方程（x-1）²+（y+2）²=0．

點評 本題考查直線方程的求法，考查點的軌跡方程的求法，是中檔題，注意點差法的合理運用．