Question

11．如圖，GH是東西方向的公路北側(cè)的邊緣線，某公司準(zhǔn)備在GH上的一點(diǎn)B的正北方向的A處建設(shè)一倉(cāng)庫(kù)，設(shè)AB=ykm，并在公路北側(cè)建造邊長(zhǎng)為xkm的正方形無(wú)頂中轉(zhuǎn)站CDEF（其中EF在GH上），現(xiàn)從倉(cāng)庫(kù)A向GH和中轉(zhuǎn)站分別修兩條道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出定義域；
（2）如果中轉(zhuǎn)站四堵圍墻造價(jià)為10萬(wàn)元/km，兩條道路造價(jià)為30萬(wàn)元/km，問(wèn)：x取何值時(shí)，該公司建設(shè)中轉(zhuǎn)站圍墻和兩條道路總造價(jià)M最低．

Answer 1

分析 （1）在△BCF中，CF=x，∠FBC=30°，CF⊥BF，BC=2x．在△ABC中，AB=y，AC=y-1，∠ABC=60°，由余弦定理，求解函數(shù)的解析式，然后求解定義域．
（2）求出M=30•（2y-1）+40x，通過(guò)基本不等式求解表達(dá)式的最值即可．

解答 （1）在△BCF中，CF=x，∠FBC=30°，CF⊥BF，所以BC=2x．
在△ABC中，AB=y，AC=y-1，∠ABC=60°，
由余弦定理，得AC²=BA²+BC²-2BA•BCcos∠ABC，…（2分）
即 （（y-1）²=y²+（2x）²-2y•2x•cos60°，
所以  $y=\frac{4{x}^{2}-1}{2x-2}$．…（5分）
由AB-AC＜BC，得$2x＞1，x＞\frac{1}{2}$．又因?yàn)?$y=\frac{4{x}^{2}-1}{2x-2}$＞0，所以x＞1．
所以函數(shù)$y=\frac{4{x}^{2}-1}{2x-2}$的定義域是（1，+∞）．…（6分）
（2）M=30•（2y-1）+40x．…（8分）
因?yàn)?y=\frac{4{x}^{2}-1}{2x-2}$．（x＞1），所以M=30$•（2•\frac{4{x}^{2}-1}{2x-2}-1）+40x$
即 M=10$•（\frac{12{x}^{2}-3}{x-1}+4x-1）$．…（10分）
令t=x-1，則t＞0．于是M（t）=10（16t+$\frac{9}{t}+25$），t＞0，…（12分）
由基本不等式得M（t）≥10（2$\sqrt{144}+25$）=490，
當(dāng)且僅當(dāng)t=$\frac{3}{4}$，即x=$\frac{7}{4}$時(shí)取等號(hào)．…（15分）
答：當(dāng)x=$\frac{7}{4}$km時(shí)，公司建中轉(zhuǎn)站圍墻和兩條道路最低總造價(jià)M為490萬(wàn)元．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用，基本不等式求解表達(dá)式的最值，考查思想以及計(jì)算能力．