Question

如圖，已知海島A與海岸公路BC的距離為50km，B、C間的距離為100km，從A到C，先乘船，船速為25km/h，再乘汽車，車速為50km/h．設(shè)登陸點在D處，從A到C所用的時間為y（單位：h）．
（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系：①設(shè)∠BAD=θ（rad），將y表示為θ的函數(shù)；②設(shè)BD=x（km），將y表示為x的函數(shù)．
（2）請選用（1）中的一個函數(shù)關(guān)系，確定登陸點D的位置，使從A到C所用時間最少？并求出所用的最少時間．

Answer 1

分析：（1）①用θ表示出AD與BD，從而可以表示出DC，由路程除以速度得時間，建立起時間關(guān)于θ函數(shù)即可；
②設(shè)BD=x（km），可用公股定理求出AD，再由BC=100，用x表示出DC，由路程除以速度得時間，建立起時間關(guān)于x函數(shù)即可；
（2）選①，對函數(shù)進行求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，借助三角函數(shù)的性質(zhì)可得出當(dāng)當(dāng)θ=

π

6

時，用時最少，代入函數(shù)關(guān)系式求出最值即可．
選②對函數(shù)求導(dǎo)，研究出函數(shù)的單調(diào)性確定出當(dāng)x=

50 3

3

時，用時最少，求出x=

50 3

3

時的函數(shù)值即可，

解答：解：（1）①在Rt△ABD中，AB=50km，∴BD=50tanθ，AD=

50

cosθ

，∴DC=100-BD=100-50tanθ．
∴y=

AD

25

+

DC

50

=

2

cosθ

+2-tanθ=

2+2cosθ-sinθ

cosθ

(0≤θ≤α，其中tanα=2，α∈[0，

π

2

))…（4分）

②在Rt△ABD中，DC=100-x，AD=

x2+502

，
∴y=

AD

25

+

DC

50

=

1

25

x2+2500

+2-

x

50

(0≤x≤100)．…．（8分）
注：定義域不寫或?qū)戝e扣（1分）
（2）①y′=

2sinθ-1

cos2θ

，…．（10分）
當(dāng)0＜θ＜

π

6

時，y'＜0，∴函數(shù)y在(0，

π

6

)單調(diào)遞減；
當(dāng)

π

6

＜θ＜α，tanα=2，α∈[0，

π

2

)時，y'＞0，
∴函數(shù)y在（0，α）單調(diào)遞增…．（12分）
∴當(dāng)θ=

π

6

時，ymin=

2+2cos π 6 -sin π 6

cos π 6

=2+

3．

…．（13分）
此時BD=50tan

π

6

=

50 3

3

．…．（14分）
答：當(dāng)BD=

50 3

3

km時，從A到C所用時間最少為(2+

3

)h．…．（15分）
②y′=

x

25 x2+2500

-

1

50

=

2x- x2+2500

50 x2+2500

．…．（10分）
當(dāng)0＜x＜

50

3

時，y'＜0，∴函數(shù)y在(0，

50

3

)單調(diào)遞減；
當(dāng)

50

3

＜x＜100時，函數(shù)在(

50

3

，100)單調(diào)遞增…．（12分）
∴當(dāng)x=

50 3

3

時，ymin=2+

3．

．…（14分）
答：當(dāng)BD=

50 3

3

km時，從A到C所用時間最少為(2+

3

)h…．（15分）

點評：本題考查在實際問題中建立三角函數(shù)模型，應(yīng)用三角函數(shù)模型求解用時最少的問題，求解本題的關(guān)鍵是對問題進行細致分析得出符合條件的函數(shù)模型，本題在求最值時用到了導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是一個非常方便的工具，遇到判斷函數(shù)的單調(diào)性的問題時不妨優(yōu)先考慮一下用導(dǎo)數(shù)．本題符號較多，運算較繁，極易出錯，做題時要認真嚴謹．