Question

已知有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，且它們在第一象限的交點(diǎn)為P，△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形．若PF₁=10，雙曲線的離心率的取值范圍為（1，2），則該橢圓的離心率的取值范圍是

（

1

3

，

2

5

）

．

Answer 1

分析：設(shè)橢圓的長半軸為a₁，雙曲線的半實(shí)軸長為a₂，它們公共的焦距為2c，|PF₂|=n，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義建立方程組解出a₁=5+c且a₂=5-c，得到雙曲線的離心率為

c

5-c

∈（1，2），由此解出c的范圍再代入橢圓離心率的表達(dá)式，利用不等式的性質(zhì)加以計(jì)算，可得該橢圓的離心率的取值范圍．

解答：解：如圖，設(shè)橢圓的長半軸為a₁，雙曲線的半實(shí)軸長為a₂，
它們公共的焦距為2c，|PF₂|=n，
∵|PF₁|=10，△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形．
∴由橢圓與雙曲線的定義，得

10+n=2a1 10-n=2a2 n=2c

，解之得

a1=5+c a2=5-c

，
∵雙曲線的離心率的取值范圍為（1，2），∴1＜

c

5-c

＜2，
設(shè)

c

5-c

=x，可得c=

5x

1+x

，
從而得到橢圓的離心率e=

c

5+c

=

x

2x+1

=

1

2

-

1

4x+2

．
由1＜x＜2，可得

1

2

-

1

6

＜

1

2

-

1

4x+2

＜

1

2

-

1

10

，即

1

3

＜

1

2

-

1

4x+2

＜

2

5

．
即該橢圓的離心率的取值范圍是（

1

3

，

2

5

）．
故答案為：（

1

3

，

2

5

）

點(diǎn)評：本題給出有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線，在雙曲線離心率的取值范圍為（1，2）時(shí)求橢圓的離心率的取值范圍．著重考查了橢圓、雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，利用不等式的基本性質(zhì)求變量取值范圍等知識，屬于中檔題．