Question

【題目】已知橢圓：．

（1）若拋物線的焦點與的焦點重合，求的標準方程；

（2）若的上頂點、右焦點及軸上一點構成直角三角形，求點的坐標；

（3）若為的中心，為上一點(非的頂點)，過的左頂點，作，交軸于點，交于點，求證：．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的標準方程為和．

（2）或．

（3）見解析

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的方程和拋物線的性質即可求出；

（2）按哪個角為直角進行分類，結合數(shù)量積為0，計算得到M的坐標.

（3）由B（﹣3，0），BQ∥OP，設直線BQ的方程為x＝my﹣3，直線OP的方程為x＝my，分別于橢圓的方程聯(lián)立，求出點Q，N，P的坐標，再根據(jù)向量的運算即可證明.

(1) 橢圓的焦點坐標為和，拋物線的標準方程為和．

(2)設點的坐標為，的上頂點的坐標為，右焦點的坐標為．

當為直角頂點時，點的坐標為；

當為直角頂點時，，，由，解得，點的坐標為．

因此，點的坐標為或．

(3)設直線的方程為()，直線的方程為．

于是點，的坐標，為方程組的實數(shù)解，

解得點的坐標為．

點，的坐標，為方程組的實數(shù)解，解得點的坐標為．

又點的坐標為．

于是，，，

，

，

即，得證．