【題目】已知橢圓：的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，在直線上存在點(diǎn)，使三角形為正三角形，求的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由離心率得，再把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合可解得，得橢圓方程；

（2）設(shè)直線方程為，與聯(lián)立方程組，消去，設(shè)，，由韋達(dá)定理得.設(shè)線段的中點(diǎn)為，得直線方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)（此結(jié)論對(duì)也適用），是等邊三角形等價(jià)于，由此可把用表示，設(shè)換元后，可利用基本不等式求得最值．

（1）設(shè)，則，，所以，，

由點(diǎn)在橢圓上得，

，，所以橢圓的方程為.

（2）顯然，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，

與聯(lián)立方程組，消去，并化簡(jiǎn)得.

設(shè)，，則，.

設(shè)線段的中點(diǎn)為，則直線：，令，

又，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，顯然當(dāng)時(shí)也符合，

所以.

又因?yàn)?/span>，

由三角形為正三角形得，

所以兩邊平方可得

，得.

令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以的最大值為.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線與曲線的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)的極坐標(biāo)為，設(shè)曲線與軸相交于點(diǎn)，則在曲線上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的直角坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某科研團(tuán)隊(duì)對(duì)例新冠肺炎確診患者的臨床特征進(jìn)行了回顧性分析.其中名吸煙患者中，重癥人數(shù)為人，重癥比例約為；名非吸煙患者中，重癥人數(shù)為人，重癥比例為.

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表；

（2）根據(jù)（1）中列聯(lián)表數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為新冠肺炎重癥與吸煙有關(guān)？

（3）已知每例重癥患者平均治療費(fèi)用約為萬(wàn)元，每例輕癥患者平均治療費(fèi)用約為萬(wàn)元.根據(jù)（1）中列聯(lián)表數(shù)據(jù)，分別求吸煙患者和非吸煙患者的平均治療費(fèi)用.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

附：

≥

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分別是C1D1，BC，A1D1的中點(diǎn)，有下列四個(gè)結(jié)論：

①AP與CM是異面直線；②AP，CM，DD1相交于一點(diǎn)；③MN∥BD1；

④MN∥平面BB1D1D．

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（　�。�

A.①④B.②④C.①④D.②③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，為中點(diǎn)，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將，分別沿，折起，使得，重合為點(diǎn)，形成四棱錐，過(guò)點(diǎn)作平面于.①平面平面；②當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積為；③為的垂心；④長(zhǎng)的取值范圍為 .則以上判斷正確的有______（填正確命題的序號(hào)）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某晚會(huì)上某歌舞節(jié)目的表演者是3個(gè)女孩和4個(gè)男孩．演出結(jié)束后，7個(gè)人合影留念（3個(gè)人站在前排，4個(gè)人站在后排），其中男孩甲、乙要求站在一起，女孩丙不能站在兩邊，不同站法的種數(shù)為（ ）

A.96B.240C.288D.432

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在梯形中，，且，是等腰直角三角形，其中為斜邊，若把沿邊折疊到的位置，使平面平面．

（1）證明：．

（2）若為棱的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，平面ABC，平面平面PBC，，．

（1）證明：平面PBC；

（2）求點(diǎn)C到平面PBA的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖1為某省2018年1~4月快遞業(yè)務(wù)量統(tǒng)計(jì)圖，圖2是該省2018年1~4月快遞業(yè)務(wù)收入統(tǒng)計(jì)圖，下列對(duì)統(tǒng)計(jì)圖理解錯(cuò)誤的是（ ）

A. 2018年1~4月的業(yè)務(wù)量，3月最高，2月最低，差值接近2000萬(wàn)件

B. 2018年1~4月的業(yè)務(wù)量同比增長(zhǎng)率均超過(guò)50%，在3月底最高

C. 從兩圖來(lái)看，2018年1~4月中的同一個(gè)月的快遞業(yè)務(wù)量與收入的同比增長(zhǎng)率并不完全一致

D. 從1~4月來(lái)看，該省在2018年快遞業(yè)務(wù)收入同比增長(zhǎng)率逐月增長(zhǎng)

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