Question

已知是二次函數(shù)，不等式的解集是(0,5)，且f(x)在區(qū)間[－1,4]上的最大值是12.
(1)求的解析式；
(2)是否存在自然數(shù)m，使得方程＝0在區(qū)間(m，m＋1)內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出所有m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

(1)
(2)存在唯一的自然數(shù)m＝3，使得方程在區(qū)間(m，m＋1)內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．

解析試題分析：(1)為求函數(shù)的解析式，可根據(jù)是二次函數(shù)，且的解集是(0,5)，
設(shè)出應(yīng)用“待定系數(shù)法”．
(2)首先注意到方程＝0等價(jià)于方程，從而，可通過(guò)研究函數(shù)
達(dá)到解題目的.
具體地，通過(guò)“求導(dǎo)數(shù)、求駐點(diǎn)、討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)、確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”，認(rèn)識(shí)方程的根分布情況.
試題解析：
(1)∵是二次函數(shù)，且的解集是(0,5)，
∴可設(shè)．
∴在區(qū)間[－1,4]上的最大值是.
由已知，得                   5分
(2)方程＝0等價(jià)于方程
設(shè)
則．                          7分
當(dāng)x∈時(shí)，，因此在此區(qū)間上是減少的；
當(dāng)x∈時(shí)，，因此是在此區(qū)間上是增加的．
∵h(yuǎn)(3)＝1>0，h＝<0，h(4)＝5>0，               10分
∴方程＝0在區(qū)間，內(nèi)分別有唯一實(shí)數(shù)根，而在區(qū)間(0,3)，(4，＋∞)內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
∴存在唯一的自然數(shù)m＝3，使得方程在區(qū)間(m，m＋1)內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．                                       12分
考點(diǎn)：待定系數(shù)法，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)方程.