如圖,在長方體中,
,點(diǎn)在棱上移動 

(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)當(dāng)的中點(diǎn)時,求點(diǎn)到面的距離;

 

 
(Ⅲ)等于何值時,二面角的大小為

(Ⅰ)見解析(Ⅱ)(Ⅲ)
本小題主要考查向量語言表述線線的垂直、平行關(guān)系、點(diǎn)到平面的距離和線面關(guān)系等基本知識,同時考查空間想象能力和推理、運(yùn)算能力.
(1)建立如圖的坐標(biāo)系,則
DA1
=(1,0,1),設(shè)E(1,t,0),則
D1E
=(1,t,-1),通過向量的數(shù)量積為0,計算可得D1E⊥A1D;
(2)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時,E(1,1,0),
D1E
=(1,1,-1),求出平面ACD1的一個法向量,最后利用點(diǎn)到面的距離公式即可求點(diǎn)E到面ACD1的距離.
(3)(2)連接DE,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),及線面垂直的判定和性質(zhì),可得DE⊥EC,D1E⊥EC,進(jìn)而由∠D1ED即為二面角D1-EC-D的平面角,解三角形D1ED即可得到二面角D1-EC-D的大;
解:以為坐標(biāo)原點(diǎn),直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則
(Ⅰ)       ………4分
(Ⅱ)因為的中點(diǎn),則,從而
,設(shè)平面的法向量為,則
也即,得,從而,所以點(diǎn)到平面的距離為           ………8分
(Ⅲ)設(shè)平面的法向量,

 令

依題意
(不合,舍去),  
時,二面角的大小為       ………12分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題12分)如圖,已知三棱錐A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M為AB中點(diǎn),D為PB中點(diǎn),且△PMB為正三角形.

(Ⅰ)求證:DM∥平面APC;
(II)求證:平面ABC⊥平面APC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分12分)如圖,分別是正三棱柱的棱、的中點(diǎn),且棱,.

(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)在棱上是否存在一點(diǎn),使二面角的大小為,若存在,求的長;若不存在,說明理由。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本題滿分12分)
如圖所示,已知M、N分別是AC、AD的中點(diǎn),BCCD.

(Ⅰ)求證:MN∥平面BCD;
(Ⅱ)求證:平面B CD平面ABC;
(Ⅲ)若AB=1,BC=,求直線AC與平面BCD所成的角.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分14分)如圖5,正△的邊長為4,邊上的高,分別是邊的中點(diǎn),現(xiàn)將△沿翻折成直二面角
(1)試判斷直線與平面的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)求二面角的余弦值;
(3)在線段上是否存在一點(diǎn),使?如果存在,求出的值;如果不存在,請說明理由。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)是直線,a,β是兩個不同的平面
A.若∥a,∥β,則a∥βB.若∥a,⊥β,則a⊥β
C.若a⊥β,⊥a,則⊥βD.若a⊥β, ∥a,則⊥β

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

關(guān)于直線與平面,有以下四個命題:
① 若,則;
② 若,則;
③若,則
④ 若,則;
其中正確命題的序號是        .(把你認(rèn)為正確命題的序號都填上)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列結(jié)論正確的是( )
A.A1C1∥ADB.C1D1⊥AB
C.AC1與CD成45°角 D.A1C1與B1C成60°角

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知是不同的直線,是不同的平面,若①,則其中能使的充分條件的個數(shù)為(    )
A.0個B.1個C.2個D.3個

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