過(guò)點(diǎn)M(4,2)作x軸的平行線被曲線C:x2=2py(p>0)截得的弦長(zhǎng)為4
2

(I)求p的值;
(II)過(guò)點(diǎn)M作直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B分別作拋物線C的切線l1,l2,記l1,l2的交點(diǎn)為N,當(dāng)S△ABN=28
7
時(shí),求點(diǎn)N的坐標(biāo).
分析:(I)由題意可得,點(diǎn)(2
2
,2)
在拋物線x2=2py上,代入可求p,
(II)由題意可設(shè)直線AB:y-2=k(x-4),聯(lián)立拋物線x2=4y,設(shè)A(x1
x12
4
),B(x2,
x22
4
)根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求x1+x2,x1x2,結(jié)合弦長(zhǎng)公式|AB|=
1+k2
|x1-x2|
=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求A,B點(diǎn)處的切線,交點(diǎn)坐標(biāo)N,由點(diǎn)N到直線AB的距離d=
2|k2-4k+2|
1+k2
,代入面積公式可求S△NAB=
1
2
|AB|•d
=4(
k2-4k+2
)
3
,結(jié)合已知即可求k
解答:解:(I)由題意可得,過(guò)M(4,2)所作的直線為y=2截拋物線 弦長(zhǎng)為4
2

∴點(diǎn)(2
2
,2)
在拋物線x2=2py上,…(2分)
代入得8=4p,故p=2.…(5分)
(II)易知直線AB的斜率一定存在,設(shè)為k,則AB:y-2=k(x-4)
聯(lián)立拋物線x2=4y,消元,整理得:x2-4kx+16k-8=0    …(7分)
設(shè)A(x1,
x12
4
),B(x2,
x22
4
)則x1+x2=4k,x1x2=16k-8
|AB|=
1+k2
|x1-x2|
=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=4
1+k2
k2-4k+2
…(9分)
y=
x
2
故拋物線在A,B兩點(diǎn)處的切線斜率分別為
x1
2
,
x2
2

故在A,B點(diǎn)處的切線方程分別為L(zhǎng)1y=
x1
2
x-
x12
4
,l2:y=
x2
2
x-
x22
4
   …(11分)
于是,l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(
x1+x2
2
,
x1x2
4
)
,即N(2k,4k-2)
點(diǎn)N到直線AB的距離d=
2|k2-4k+2|
1+k2
                 …(12分)
S△NAB=
1
2
|AB|•d
=4(
k2-4k+2
)
3
…(13分)
4(
k2-4k+2
)3=28
7
k2-4k+2
=
7

∴k=-1或k=5,…(14分)
故點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-2,-6)或(10,18).…(15分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用拋物線的性質(zhì)求解拋物線的方程,直線與拋物線相交關(guān)系的應(yīng)用,一般思路是聯(lián)立方程結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行處理
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過(guò)點(diǎn)M(4,2)作x軸的平行線被拋物線C:x2=2py(p>0)截得的弦長(zhǎng)為4
2

(I)求p的值;
(II)過(guò)拋物線C上兩點(diǎn)A,B分)別作拋物線C的切線l1,l2
(i)若l1,l2交于點(diǎn)M,求直線AB的方程;
(ii)若直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,記l1,l2的交點(diǎn)為N,當(dāng)S△ABN=28
7
時(shí),求點(diǎn)N的坐標(biāo).

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(2011•南寧模擬)過(guò)點(diǎn)M(4,2)作X軸的平行線被拋物線C:x2=2py(p>0)截得的弦長(zhǎng)為4
2
(I )求拋物線C的方程;(II)過(guò)拋物線C上兩點(diǎn)A,B分別作拋物線C的切線l1,l2(i)若l1,l2交點(diǎn)M,求直線AB的方(ii)若直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,記l1,l2的交點(diǎn)為N,當(dāng)S△ABN=28
7
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過(guò)點(diǎn)M(4,2)作x軸的平行線被曲線C:x2=2py(p>0)截得的弦長(zhǎng)為
(I)求p的值;
(II)過(guò)點(diǎn)M作直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B分別作拋物線C的切線l1,l2,記l1,l2的交點(diǎn)為N,當(dāng)時(shí),求點(diǎn)N的坐標(biāo).

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過(guò)點(diǎn)M(4,2)作x軸的平行線被拋物線C:x2=2py(p>0)截得的弦長(zhǎng)為
(I)求p的值;
(II)過(guò)拋物線C上兩點(diǎn)A,B分)別作拋物線C的切線l1,l2
(i)若l1,l2交于點(diǎn)M,求直線AB的方程;
(ii)若直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,記l1,l2的交點(diǎn)為N,當(dāng)時(shí),求點(diǎn)N的坐標(biāo).

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