Question

（2012•紹興模擬）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知b=

3

a．
（1）當(dāng)c=1，且△ABC的面積為

3

4

時，求a的值；
（2）當(dāng)cosC=

3

3

時，求cos(B-A)的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的面積公式把表示出三角形ABC的面積，將已知的面積及b=

3

a代入，表示出sinC，再由c及b=

3

a，利用余弦定理表示出cosC，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系得到sin²C+cos²C=1，將表示出的sinC和cosC代入，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）由b=

3

a及cosC的值，利用余弦定理得到c=

2

a，可得出b²=a²+c²，根據(jù)勾股定理的逆定理可得出三角形為直角三角形，B為直角，進(jìn)而確定出sinB=1，再利用正弦定理化簡b=

3

a，將sinB的值代入求出sinA的值，將B的度數(shù)代入所求的式子中，利用誘導(dǎo)公式化簡得到所求式子等于sinA的值，由sinA的值即可得到所求式子的值．

解答：解：（1）∵△ABC的面積為

3

4

，b=

3

a，
∴

1

2

absinC=

1

2

a•

3

a•sinC=

3

2

a²sinC=

3

4

，
∴sinC=

1

2a2

，（2分）
又c=1，b=

3

a，
∴由余弦定理得：c²=1=a²+b²-2abcosC=a²+3a²-2a•

3

acosC，即cosC=

4a2-1

2 3 a2

，（4分）
∵sin²C+cos²C=1，∴（

1

2a2

）²+（

4a2-1

2 3 a2

）²=1，（6分）
整理得：（a²-1）²=0，即a²-1=0，
解得：a=1；（7分）
（2）∵b=

3

a，cosC=

3

3

，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+3a²-2a²=2a²，即c=

2

a，（9分）
又b=

3

a，∴b²=a²+c²，∴B=90°，（11分）
由b=

3

a，sinB=1，
利用正弦定理得：sinB=

3

sinA，即sinA=

3

3

，（13分）
則cos（B-A）=cos（90°-A）=sinA=

3

3

．（14分）

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦、余弦定理，三角形的面積公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，勾股定理的逆定理，以及誘導(dǎo)公式的運用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．