Question

12．已知直線l：x-my+3=0和圓C：x²+y²-6x+5=0
（1）當直線l與圓C相切時，求實數(shù)m的值；
（2）當直線l與圓C相交，且所得弦長為$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$時，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）由配方法求出圓心坐標和半徑，由直線與圓相切的條件和點到直線的距離公式列出方程，求出m的值；
（2）由弦長公式和點到直線的距離公式列出方程，求出m的值．

解答 解：（1）由x²+y²-6x+5=0得，（x-3）²+y²=4，
∴圓心C為（3，0），r=2；
∵直線x-my+3=0與圓C相切，∴$\frac{|3+3|}{{\sqrt{{1^2}+{{（{-m}）}^2}}}}=2$
解得m=$2\sqrt{2}$或m=$-2\sqrt{2}$；
（2）設(shè)圓心C到直線l的距離為d，且弦長為$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$，
由勾股定理得：$d=\sqrt{{2^2}-{{（{\frac{{2\sqrt{10}}}{5}}）}^2}}=\frac{{3\sqrt{10}}}{5}$，
由點到直線的距離公式得，$d=\frac{|3+3|}{{\sqrt{{1^2}+{{（{-m}）}^2}}}}$，
∴$\frac{|3+3|}{{\sqrt{{1^2}+{{（{-m}）}^2}}}}$=$\frac{{3\sqrt{10}}}{5}$，解得m=±3．
所以實數(shù)m的值為3或-3．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系：相切和相交問題，弦長公式、點到直線的距離公式，以及方程思想．