Question

【題目】近年來，國家為了鼓勵(lì)高校畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，出臺了許多優(yōu)惠政策，以創(chuàng)業(yè)帶動(dòng)就業(yè)．某高校畢業(yè)生小張自主創(chuàng)業(yè)從事蘋果的種植，并開設(shè)網(wǎng)店進(jìn)行銷售．為了做好蘋果的品控，小張從自己果園的蘋果樹上，隨機(jī)摘取150個(gè)蘋果測重（單位：克），其重量分布在區(qū)間內(nèi)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)得到如圖1所示的頻率分布直方圖．

（1）以上述樣本數(shù)據(jù)中頻率作為概率，現(xiàn)一顧客從該果園購買了30個(gè)蘋果，求這30個(gè)蘋果中重量在內(nèi)的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望；

（2）小張的網(wǎng)店為了進(jìn)行蘋果的促銷，推出了“買蘋果，送福袋”的活動(dòng)，買家在線參加按圖行進(jìn)贏取福袋的游戲．該游戲的規(guī)則如下：買家點(diǎn)擊拋擲一枚特殊的骰子，每次拋擲的結(jié)果為1或2，且這兩種結(jié)果的概率相同；從出發(fā)格（第0格）開始，每擲一次，按照拋擲的結(jié)果，按如圖2所示的路徑向前行進(jìn)一次，若擲出1點(diǎn)，即從當(dāng)前位置向前行進(jìn)一格（從第格到第格，），若擲出2點(diǎn)，即從當(dāng)前位置向前行進(jìn)兩格（從第格到第格，），行進(jìn)至第3l格（獲得福袋）或第32格（謝謝惠顧），游戲結(jié)束．設(shè)買家行進(jìn)至第格的概率為，．

（�。┣�、，并寫出用、表示的遞推式；

（ⅱ）求，并說明該大學(xué)生網(wǎng)店推出的此款游戲活動(dòng)，是更有利于賣家，還是更有利于買家．

Answer 1

【答案】（1）8.4個(gè)；（2）（�。�,．（ⅱ），更有利于買家．

【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖可求出蘋果的重量在內(nèi)的頻率，再根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式可得結(jié)果；

（2）（ⅰ）由當(dāng)前格在第0格，且第一次拋擲骰子，結(jié)果為1，可求得；由當(dāng)前格在第0格，第一次拋擲骰子，結(jié)果為2，和當(dāng)前格在第1格，第二次拋擲骰子，結(jié)果為1，這兩個(gè)互斥事件的和事件的概率公式可求得；分兩種情況可求得：①當(dāng)前格在第格，拋擲一次骰子，結(jié)果為2，②當(dāng)前格在第格，拋擲一次骰子，結(jié)果為1，

（ii）根據(jù)（ⅰ）的遞推關(guān)系可求得，由此可得，根據(jù)可求得，再比較大小可得答案.

（1）由圖可知，蘋果的重量在內(nèi)的頻率為：．

一顧客從該果園購買的30個(gè)蘋果中重量在內(nèi)的個(gè)數(shù)為，則，所以（個(gè)）．

（2）（i）買家要行進(jìn)至第1格的情況只有一種：買家第一次拋擲骰子，結(jié)果為1，行進(jìn)至第一格，其概率為，則；

買家要行進(jìn)至第2格的情況有以下兩種：

①當(dāng)前格在第0格，第一次拋擲骰子，結(jié)果為2，行進(jìn)至第2格，其概率為；

②當(dāng)前格在第1格，第二次拋擲骰子，結(jié)果為1，行進(jìn)至第2格，其概率為；

所以．

買家要行進(jìn)至第格的情況有以下兩種：

①當(dāng)前格在第格，拋擲一次骰子，結(jié)果為2，行進(jìn)至第格，其概率為；

②當(dāng)前格在第格，拋擲一次骰子，結(jié)果為1，行進(jìn)至第格，其概率為；

所以．

（ii）由（i）得，，即，

又，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．

所以，

所以

，

即．

所以買家行進(jìn)至第31格（獲得福袋）的概率為；

又買家行進(jìn)至第32格（謝謝惠顧）的概率為，

由于，

所以買家行進(jìn)至第31格的概率大于行進(jìn)至第32格的概率，即小張網(wǎng)店推岀的此款游戲活動(dòng)是更有利于買家．