Question

6．設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，$\frac{S_n}{n}$）（n∈N*）均在函數(shù)y=2x-3的圖象上．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）T_n是數(shù)列$\{\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前n項和，求使T_n＜$\frac{m}{12}$-1對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過點$（n，\frac{S_n}{n}）$（n∈N*）均在函數(shù)y=2x-3的圖象上，求出S_n=n（2n-3），利用當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，求出通項公式，然后證明是等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{3}{4}（\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}）$，利用裂項求和，求出使T_n＜$\frac{m}{12}$-1對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）∵點$（n，\frac{S_n}{n}）$（n∈N*）均在函數(shù)y=2x-3的圖象上，
∴$\frac{S_n}{n}=2n-3$，即S_n=n（2n-3），…（2分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n（2n-3）-（n-1）[2（n-1）-3]=4n-5，
當n=1時，a₁=S₁=-1=4×1-5也符合上式，
∴a_n=4n-5（n∈N*），…（5分）
∴a_n-a_n-1=4n-5-[4（n-1）-5]=4（常數(shù)）
∴數(shù)列{a_n}是首項為-1，公差為4的等差數(shù)列．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{3}{4}（\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}）$，…（9分）
∴T_n=$\frac{3}{4}[（\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2}）+（\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3}）+…+（\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}）]=\frac{3}{4}（\frac{1}{a_1}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}）$，
=$\frac{3}{4}（-1-\frac{1}{4n-1}）$$＜-\frac{3}{4}$，…（11分）
∵${T_n}＜\frac{m}{12}-1$對所有n∈N*都成立，
∴應有$-\frac{3}{4}$$≤\frac{m}{12}-1$，∴m≥3，
∴最小正整數(shù)m=3．…（13分）

點評 本題考查數(shù)列的求和，裂項法的應用，等差數(shù)列的判斷，考查計算能力．