Question

已知函數(shù)f(x)=

∫

x 0

t(t-4)dt；
（1）若不等式f（x）+2x+2＜m在[0，2]內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若函數(shù)g(x)=f(x)+a-

1

3

在區(qū)間[0，5]上沒(méi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)定積分先求出函數(shù)的解析式，再利用分離參數(shù)法，將不等式f（x）+2x+2＜m在[0，2]內(nèi)有解，轉(zhuǎn)化為m＞（x²-2x+2）_min（x∈[0，2]），即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定g（x）的最小值，要使函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，5]上沒(méi)有零點(diǎn)，則a-11＞0或

g(0)=a- 1 3 ＜0 g(5)=- 26 3 +a＜0

，由此可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f(x)=

∫

x 0

t(t-4)dt=(

1

3

t3-2t2)

|

x 0

=

1

3

x3-2x2
∴f′（x）=x²-4x
不等式f（x）+2x+2＜m可化為m＞x²-2x+2
∵不等式f（x）+2x+2＜m在[0，2]內(nèi)有解，
∴m＞（x²-2x+2）_min（x∈[0，2]）
∵x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，（x²-2x+2）_min=1
∴m＞1，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為（1，+∞）
（2）由（1）得g(x)=

1

3

x3-2x2+a-

1

3

，
∴g′（x）=x²-4x=x（x-4）
則當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，g′（x）≤0；當(dāng)x∈（4，5]時(shí)，g′（x）＞0
∴當(dāng)x=4時(shí)，g（x）的最小值為g（4）=a-11
∵函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，5]上沒(méi)有零點(diǎn)，
∴a-11＞0或

g(0)=a- 1 3 ＜0 g(5)=- 26 3 +a＜0

∴a＞11，或a＜

1

3

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（11，+∞）∪（-∞，

1

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查定積分，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查不等式有解問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用分離參數(shù)法，將不等式f（x）+2x+2＜m在[0，2]內(nèi)有解，轉(zhuǎn)化為m＞（x²-2x+2）_min（x∈[0，2]）．