Question

如圖1在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D、E分別為線段AB、AC的中點，AB=4，BC=

2

，以D為折痕，將Rt△ADE折起到圖2的位置，使平面A′DE⊥平面DBCE，連接A′C′，A′B′，設(shè)F是線段A′C上的動點，滿足

CF

=λ

CA′

（1）證明：平面FBE⊥平面A′DC；
（2）若二面角F-BE-C的大小為45°，求λ的值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得A′D⊥DE，A′D⊥平面DBCE，從而A′D⊥BE，由1-tan∠BED•tan∠CDE=0，得BE⊥DC，由此能證明平面FEB⊥平面A′DC．
（2）作FG⊥DC，垂足為G，設(shè)BE交DC于O點，連OF，則∠FOG為二面角F-BE-C的平面角，由FG∥A′D，得FG=λA′D=2λ，同理，得C′G=λCD，DG=（1-λ）CD=2

3

（1-λ），從而OG=DG-DO=2

3

（1-λ）-

2 3

3

，由此結(jié)合已知條件能求出λ=1-

3

3

．

解答： 解：（1）證明：∵平面A′DE⊥平面DBCE，A′D⊥DE，
∴A′D⊥平面DBCE，∴A′D⊥BE，
∵D，E分別是線段AB、AC的中點，
∴DE=

1

2

BC=

2

，BD=

1

2

AB=2，…（2分）
在直角三角形DEB中，
∵tan∠BED=

BD

DE

=

2

，tan∠CDE=

BD

CD

=

2

2

，
1-tan∠BED•tan∠CDE=0，
∴∠BED+∠CDE=90°，得BE⊥DC，
∴BE⊥平面A′DC，又BE?平面FEB，
∴平面FEB⊥平面A′DC．…（6分）
（2）解：作FG⊥DC，垂足為G，則FG⊥平面DBCE，
設(shè)BE交DC于O點，連OF，
由（1）知，∠FOG為二面角F-BE-C的平面角，…（7分）
由FG∥A′D，則

FG

A′D

=

CF

CA′

=λ，∴FG=λA′D=2λ，
同理，得C′G=λCD，DG=（1-λ）CD=2

3

（1-λ），
∵DO=

BD•DE

BE

=

2 3

3

，∴OG=DG-DO=2

3

（1-λ）-

2 3

3

，
在Rt△OGF中，由tan∠FOG=

FG

OG

=

2λ

2 3 (1-λ)- 2 3 3

=1，…（10分）
得λ=1-

3

3

．…（12分）

點評：本題考查面面垂直的證明，考查滿足條件的實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．