Question

4．某縣位于沙漠地帶，人與自然長期進(jìn)行著頑強(qiáng)的斗爭，到2001年底全縣的綠化率已達(dá)30%．從2002年開始，每年將出現(xiàn)這樣的局面，即現(xiàn)有沙漠面積的16%將被綠化，與此同時，由于各種原因，原有綠化面積的4%又被沙化．
（1）設(shè)全縣面積為1，2001年底綠化面積為${a_1}=\frac{3}{10}$，經(jīng)過n年綠化總面積達(dá)到a_n．求a_n和a_n+1的關(guān)系式子；
（2）至少經(jīng)過多少年努力才能使全縣的綠化率達(dá)到60%？（取lg2=0.30）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意利用今年的綠化面積表示出明年的綠化面積是解決本題的關(guān)鍵，弄清楚今年的綠化面積與明年綠化面積之間的關(guān)系，將文字語言表示為數(shù)學(xué)語言；
（2）根據(jù)（1）中得出的兩年綠化面積之間的遞推關(guān)系，通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列進(jìn)而求出該數(shù)列的通項公式是解決本題的關(guān)鍵，利用指數(shù)式和對數(shù)式之間的關(guān)系確定出合題意的年份．

解答 解：（1）證明：由已知可得a_n確定后，a_n+1表示如下：a_n+1=a_n•（1-4%）+（1-a_n）•16%
即a_n+1=80%a_n+16%=$\frac{4}{5}{a}_{n}+\frac{4}{25}$，∴a_n和a_n+1的關(guān)系為：a_n+1=$\frac{4}{5}$a_n+$\frac{4}{25}$‘
（2）由a_n+1=$\frac{4}{5}$a_n+$\frac{4}{25}$⇒a_n+1-$\frac{4}{5}$=$\frac{4}{5}$（a_n-$\frac{4}{5}$）=$（\frac{4}{5}）^{2}（{a}_{n-1}-\frac{4}{5}）=…=（\frac{4}{5}）^{n}（{a}_{1}-\frac{4}{5}）$，
故有a_n+1=-$\frac{1}{2}•（\frac{4}{5}）^{n}+\frac{4}{5}$，若a_n+1≥$\frac{3}{5}$，$\frac{1}{2}≥（\frac{4}{5}）^{n-1}$，
兩邊同時取對數(shù)可得-lg2≥（n-1）（2lg2-lg5）=（n-1）（3lg2-1）⇒n≥$\frac{lg2}{1-3lg2}+1＞4$
故使得上式成立的最小n∈N^*為5，
答：最少需要經(jīng)過5年的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到60%．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用，考查探索數(shù)列遞推關(guān)系的數(shù)學(xué)模型意識，關(guān)鍵要將題目中的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，考查學(xué)生根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系確定通項公式的方法，考查學(xué)生對數(shù)的運(yùn)算、轉(zhuǎn)化與化歸思想方法．