Question

【題目】已知函數(shù)的圖象過點.

(1)求的值并求函數(shù)的值域；

(2)若關(guān)于的方程有實根，求實數(shù)的取值范圍；

(3)若函數(shù)，則是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的最大值為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）；（3）存在使得函數(shù)的最大值為0.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)在圖象上，代入計算即可求解，因為，所以，所以，可得函數(shù)的值域為；（2）原方程等價于的圖象與直線有交點，先證明的單調(diào)性，可得到的值域，從而可得實數(shù)的取值范圍；（3）根據(jù)， ，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最大值問題，討論函數(shù)的最大值，求解實數(shù)即可.

試題解析：（1）因為函數(shù) 的圖象過點，

所以，即，所以 ，

所以，因為，所以，所以，

所以函數(shù)的值域為.

（2）因為關(guān)于的方程有實根，即方程有實根，

即函數(shù)與函數(shù)有交點，

令，則函數(shù)的圖象與直線有交點，

又

任取，則，所以，所以，

所以 ，

所以在R上是減函數(shù)（或由復(fù)合函數(shù)判斷為單調(diào)遞減），

因為，所以，

所以實數(shù)的取值范圍是.

（3）由題意知， ，

令，則，

當(dāng)時， ，所以，

當(dāng)時， ，所以（舍去），

綜上，存在使得函數(shù)的最大值為0.