Question

選做題（請(qǐng)考生在下列兩題中任選一題作答，若兩題都做，則按做的第一題評(píng)閱計(jì)分）
（1）（極坐標(biāo)與參數(shù)方程）在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為

x=- 2 +rcosθ y=- 2 +rsinθ

（θ為參數(shù)，r＞0）．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，并取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+

π

4

)=1．當(dāng)圓C上的點(diǎn)到直線(xiàn)l的最大距離為4時(shí)，圓的半徑r=

1

．
（2）（不等式）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式|2x+m|+|x-1|≥a恒成立時(shí)，若實(shí)數(shù)a的最大值為3，則實(shí)數(shù)m的值為

4或-8

．

Answer 1

分析：（1）將直線(xiàn)和圓的方程化為直角坐標(biāo)方程，利用直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系求解．
（2）要使不等式|2x+m|+|x-1|≥a恒成立，需f（x）=|2x+m|+|x-1|的最小值大于或等于a，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求f（x）的最小值，從而解決問(wèn)題．

解答：解：（1）圓的直角坐標(biāo)方程為（x+

2

）²+（y+

2

）²=r²，
圓心的直角坐標(biāo)（-

2

，-

2

）．
直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+

π

4

）=1即為x+y-

2

=0，
圓心O（-

2

，-

2

）到直線(xiàn)的距離d=

|- 2 - 2 - 2 |

2

=3．
圓O上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離為 3+r=4，解得r=1．
（2）解：（1）設(shè)f（x）=|2x+m|+|x-1|=2|x+

m

2

|+|x-1|，
當(dāng)

m

2

≥-1時(shí)，
則有f（x）=

3x+m-1，x＞1 x+m+1．- m 2 ≤x≤1 -3x-m+1，x＜- m 2

，
其圖象如圖所示，當(dāng)x=-

m

2

時(shí)，取得最小值f（-

m

2

）=

m

2

+1；
當(dāng)

m

2

＜-1時(shí)，
則有f（x）=

3x+m-1，x＞- m 2 -x-m-1.1≤x≤- m 2 -3x-m+1，x＜1

，
當(dāng)x=-

m

2

時(shí)，取得最小值f（-

m

2

）=-

m

2

-1；
由題意，若實(shí)數(shù)a的最大值為3，則

m

2

+1=3或-

m

2

-1=3，
∴m=4或m=-8．
∴實(shí)數(shù)m的值為 4或-8
故答案為：1；4或-8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查極坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程互化、絕對(duì)值不等式的解法，以及恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．