【題目】如圖,在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=11,AD=7,AA1=12.一質(zhì)點(diǎn)從頂點(diǎn)A射向點(diǎn)E(4,3,12),遇長(zhǎng)方體的面反射(反射服從光的反射原理),將第i﹣1次到第i次反射點(diǎn)之間的線段記為li(i=2,3,4),l1=AE,將線段l1 , l2 , l3 , l4豎直放置在同一水平線上,則大致的圖形是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解:根據(jù)題意有:
A的坐標(biāo)為:(0,0,0),B的坐標(biāo)為(11,0,0),C的坐標(biāo)為(11,7,0),D的坐標(biāo)為(0,7,0);
A1的坐標(biāo)為:(0,0,12),B1的坐標(biāo)為(11,0,12),C1的坐標(biāo)為(11,7,12),D1的坐標(biāo)為(0,7,12);
E的坐標(biāo)為(4,3,12)
(1)l1長(zhǎng)度計(jì)算
所以:l1=|AE|= =13.
(2)l2長(zhǎng)度計(jì)算
將平面A1B1C1D1沿Z軸正向平移AA1個(gè)單位,得到平面A2B2C2D2;顯然有:
A2的坐標(biāo)為:(0,0,24),B2的坐標(biāo)為(11,0,24),C2的坐標(biāo)為(11,7,24),D2的坐標(biāo)為(0,7,24);
顯然平面A2B2C2D2和平面ABCD關(guān)于平面A1B1C1D1對(duì)稱.
設(shè)AE與的延長(zhǎng)線與平面A2B2C2D2相交于:E2(xE2 , yE2 , 24)
根據(jù)相似三角形易知:
xE2=2xE=2×4=8,
yE2=2yE=2×3=6,
即:E2(8,6,24)
根據(jù)坐標(biāo)可知,E2在長(zhǎng)方形A2B2C2D2內(nèi).
根據(jù)反射原理,E2在平面ABCD上的投影即為AE反射光與平面ABCD的交點(diǎn).
所以F的坐標(biāo)為(8,6,0).
因此:l2=|EF|= =13.
(3)l3長(zhǎng)度計(jì)算
設(shè)G的坐標(biāo)為:(xG , yG , zG)
如果G落在平面BCC1B1;
這個(gè)時(shí)候有:xG=11,yG≤7,zG≤12
根據(jù)反射原理有:AE∥FG
于是:向量 與向量 共線;
即有: =λ
因?yàn)椋? =(4,3,12); =(xG﹣8,yG﹣6,zG﹣0)=(3,yG﹣6,zG)
即有:(4,3,12)=λ(3,yG﹣6,zG)
解得:yG= ,zG=9;
故G的坐標(biāo)為:(11, ,9)
因?yàn)椋? >7,故G點(diǎn)不在平面BCC1B1上,
所以:G點(diǎn)只能在平面DCC1D1上;
因此有:yG=7;xG≤11,zG≤12
此時(shí): =(xG﹣8,yG﹣6,zG﹣0)=(xG﹣8,1,zG)
即有:(4,3,12)=λ(xG﹣8,1,zG)
解得:xG= ,zG=4;
滿足:xG≤11,zG≤12
故G的坐標(biāo)為:( ,7,4)
所以:l3=|FG|= =
(4)l4長(zhǎng)度計(jì)算
設(shè)G點(diǎn)在平面A1B1C1D1的投影為G’,坐標(biāo)為( ,7,12)
因?yàn)楣饩經(jīng)過反射后,還會(huì)在原來的平面內(nèi);
即:AEFGH共面
故EG的反射線GH只能與平面A1B1C1D1相交,且交點(diǎn)H只能在A1G';
易知:l4>|GG’|=12﹣4=8>l3 .
根據(jù)以上解析,可知l1 , l2 , l3 , l4要滿足以下關(guān)系:
l1=l2;且l4>l3
對(duì)比ABCD選項(xiàng),可知,只有C選項(xiàng)滿足以上條件.
故本題選:C.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面,底面是直角梯形,,,,是的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)若二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】如圖是某單位職工的月收入情況畫出的樣本頻率分布直方圖,已知圖中第一組的頻數(shù)為4 000,請(qǐng)根據(jù)該圖提供的信息,解答下列問題.
(1)為了分析職工的收入與年齡、學(xué)歷等方面的關(guān)系,必須從樣本中按月收入用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步分析,則月收入在[1 500,2 000)的這組中應(yīng)抽取多少人?
(2)試估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù).
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【題目】已知點(diǎn),是函數(shù)(,)圖象上的任意兩點(diǎn),且角的終邊經(jīng)過點(diǎn),若時(shí),的最小值為.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年空氣質(zhì)量逐步惡化,霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多,大氣污染危害加重.
(1)大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病. 為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān),在某醫(yī)院隨機(jī)的對(duì)入院50人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表:
患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合計(jì) | |
男 | 20 | 5 | 25 |
女 | 10 | 15 | 25 |
合計(jì) | 30 | 20 | 50 |
問有多大的把握認(rèn)為是否患心肺疾病與性別有關(guān)?
(2)空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5(單位:μg/)表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量,這個(gè)值越高,就代表空氣污染越嚴(yán)重. 某市在2016年年初著手治理環(huán)境污染,改善空氣質(zhì)量,檢測(cè)到2016年1~5月的日平均PM2.5指數(shù)如下表:
月份x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
PM2.5指數(shù)y | 79 | 76 | 75 | 73 | 72 |
試根據(jù)上表數(shù)據(jù),求月份x與PM2.5指數(shù)y的線性回歸直線方程,并預(yù)測(cè)2016年8月份的日平均PM2.5指數(shù) (保留小數(shù)點(diǎn)后一位).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是一個(gè)半圓形湖面景點(diǎn)的平面示意圖.已知為直徑,且km,為圓心,為圓周上靠近的一點(diǎn),為圓周上靠近的一點(diǎn),且∥.現(xiàn)在準(zhǔn)備從經(jīng)過到建造一條觀光路線,其中到是圓弧,到是線段.設(shè),觀光路線總長(zhǎng)為.
(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式,并指出該函數(shù)的定義域;
(2)求觀光路線總長(zhǎng)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 若對(duì)任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得Sn=am , 則稱{an}是“H數(shù)列”.
(1)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n(n∈N*),證明:{an}是“H數(shù)列”;
(2)設(shè){an}是等差數(shù)列,其首項(xiàng)a1=1,公差d<0,若{an}是“H數(shù)列”,求d的值;
(3)證明:對(duì)任意的等差數(shù)列{an},總存在兩個(gè)“H數(shù)列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*)成立.
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【題目】某群體的人均通勤時(shí)間,是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時(shí).某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示:當(dāng)中()的成員自駕時(shí),自駕群體的人均通勤時(shí)間為(單位:分鐘),而公交群體的人均通勤時(shí)間不受影響,恒為分鐘,試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題:
(1)當(dāng)在什么范圍內(nèi)時(shí),公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間?
(2)求該地上班族的人均通勤時(shí)間的表達(dá)式;討論的單調(diào)性,并說明其實(shí)際意義.
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