Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，點D，E分別在棱PB，PC上，且DE∥BC，
（Ⅰ）求證：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）當D為PB的中點時，求AD與平面PAC所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證BC⊥平面PAC，只需證明BC垂直平面PAC內(nèi)的兩條相交直線PA、AC即可；
（Ⅱ）D為PB的中點，作出AD與平面PAC所成的角∠DAE，然后求其余弦值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，BC?面ABC∴PA⊥BC．
又∠BCA=90°，∴AC⊥BC．
∵PA與AC相交∴BC⊥平面PAC．
（Ⅱ）∵D為PB的中點，DE∥BC，∴DE=

1

2

BC，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足為點E．
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP為等腰直角三角形，
∴AD=

1

2

AB，
∴在Rt△ABC中，∠ABC=60°，
∴BC=

1

2

AB，
∴在Rt△ADE中，sin∠DAE=

DE

AD

=

BC

2AD

=

2

4

，
．AD與平面PAC所成的角的余弦值為

14

4

；

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，考查邏輯思維能力，空間想象能力，是中檔題．