17.(1)求函數(shù)$f(x)=\frac{1}{{{{sin}^2}x}}+\frac{4}{{{{cos}^2}x}}$,$x∈(0,\frac{π}{2})$的最小值.
(2)已知不等式ax2+bx+c>0的解集為(α,β),且0<α<β,試用α,β表示不等式cx2+bx+a<0的解集.

分析 (1)乘以“1”,換成sin2x+cos2x=1,利用基本不等式的性質(zhì)求解.
(2)利用韋達(dá)定理求解.

解答 解:(1)函數(shù)$f(x)=\frac{1}{{{{sin}^2}x}}+\frac{4}{{{{cos}^2}x}}=({sin^2}x+{cos^2}x)(\frac{1}{{{{sin}^2}x}}+\frac{4}{{{{cos}^2}x}})$=$5+\frac{{{{cos}^2}x}}{{{{sin}^2}x}}+\frac{{4{{sin}^2}x}}{{{{cos}^2}x}}≥5+2\sqrt{4}=9$,
當(dāng)4sin4x=cos4x時(shí)取最小值9.
(2)不等式ax2+bx+c>0的解集為(α,β),
由$\frac{c}=-(\frac{1}{α}+\frac{1}{β})$,$\frac{a}{c}=\frac{1}{αβ}$知$\frac{1}{α}$、$\frac{1}{β}$是方程${x^2}+\frac{c}x+\frac{a}{c}=0$的兩根,
又∵0<α<β,∴$0<\frac{1}{β}<\frac{1}{α}$.而由已知不等式的解集知a<0且$αβ=\frac{c}{a}>0$,
∴c<0,
∴不等式cx2+bx+a<0的解集為$\left\{{x|x<\frac{1}{β}或x>\frac{1}{α}}\right\}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式中“1”利用和二次不等式的解法,韋達(dá)定理的運(yùn)用能力.

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