Question

14．設F是橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{24}$=1的右焦點且橢圓上至少有25個不同的點P_i（i=1，2，3，…），|P₁F|，|P₂F|，|P₃F|，…組成公差為d的等差數(shù)列，則實數(shù)d的取值范圍是[-$\frac{1}{12}$，0）∪（0，$\frac{1}{12}$]．

Answer 1

分析 若這個等差數(shù)列是增數(shù)列d＞0，由題意可知a₂₅-a₁=24d≤2；若這個等差數(shù)列是減數(shù)列d＜0，a₂₅-a₁=24d≥-2，由此可求出d的取值范圍．

解答 解：若這個等差數(shù)列是增數(shù)列，d＞0，
則a₁≥|P₁F|=5-1=4，a₂₅≤|P₂₅F|=5+1=6，
∴a₂₅=a₁+24d，
∴a₂₅-a₁=24d≤2，解得：d≤$\frac{1}{12}$，
∴0＜d≤$\frac{1}{12}$，
若這個等差數(shù)列是減數(shù)列，d＜0，
則a₁≤|P₁F|=5+1=6，a₂₅≥|P₂₅F|=5-1=4，
由a₂₅=a₁+24d，
∴a₂₅-a₁=24d≥-2，解得：d≥-$\frac{1}{12}$，
∴-$\frac{1}{12}$≤d＜0，
綜上可知：d的取值范圍為[-$\frac{1}{12}$，0）∪（0，$\frac{1}{12}$]．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查等差數(shù)列的通項公式的應用，考查數(shù)列與橢圓的綜合應用，屬于中檔題．