Question

已知函數(shù)f（x）=acosx+xsinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）求集合A={x|f（x）=0}中元素的個數(shù)；
（Ⅲ）當(dāng)1＜a＜2時，問函數(shù)f（x）有多少個極值點？（只需寫出結(jié)論）

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）證明f（-x）=f（x），即可證明f（x）是偶函數(shù)．
（Ⅱ）分情況討論：當(dāng)a＞0時，因為 f（x）=acosx+xsinx＞0，x∈[-

π

2

，

π

2

]恒成立，
當(dāng)a=0時，令f（x）=xsinx=0，得 x=0．
當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）是[0，

π

2

]上的增函數(shù)．由f(0)=a＜0，f(

π

2

)=

π

2

＞0，可得f（x）在(0，

π

2

)上只有一個零點．
綜上所述，即可求出集合A={x|f（x）=0}中元素的個數(shù)；
（Ⅲ）函數(shù)f（x）有3個極值點．

解答： （共13分）
解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，證明如下：…（1分）
對于?x∈[-

π

2

，

π

2

]，則-x∈[-

π

2

，

π

2

]．…（2分）
因為 f（-x）=acos（-x）-xsin（-x）=acosx+xsinx=f（x），
所以 f（x）是偶函數(shù)．…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時，因為 f（x）=acosx+xsinx＞0，x∈[-

π

2

，

π

2

]恒成立，
所以 集合A={x|f（x）=0}中元素的個數(shù)為0．…（5分）
當(dāng)a=0時，令f（x）=xsinx=0，由x∈[-

π

2

，

π

2

]，
得 x=0．
所以 集合A={x|f（x）=0}中元素的個數(shù)為1．…（6分）
當(dāng)a＜0時，因為 f′(x)=-asinx+sinx+xcosx=(1-a)sinx+xcosx＞0，x∈(0，

π

2

)，
所以 函數(shù)f（x）是[0，

π

2

]上的增函數(shù)．…（8分）
因為 f(0)=a＜0，f(

π

2

)=

π

2

＞0，
所以 f（x）在(0，

π

2

)上只有一個零點．
由f（x）是偶函數(shù)可知，集合A={x|f（x）=0}中元素的個數(shù)為2．…（10分）
綜上所述，當(dāng)a＞0時，集合A={x|f（x）=0}中元素的個數(shù)為0；當(dāng)a=0時，集合A={x|f（x）=0}中元素的個數(shù)為1；當(dāng)a＜0時，集合A={x|f（x）=0}中元素的
個數(shù)為2．
（Ⅲ）函數(shù)f（x）有3個極值點．…（13分）

點評：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，屬于中檔題．