已知(x+1)n=a0+a1(x﹣1)+a2(x﹣1)+a3(x﹣1)3+…+an(x﹣1)n,(其中n∈N*
(1)求a0;
(2)試比較Sn與(n﹣2)2n+2n2的大小,并說明理由.

(1)Sn=3n﹣2n
(2)當(dāng)n=1時(shí),3n>(n﹣1)2n+2n2;
當(dāng)n=2,3時(shí),3n<(n﹣1)2n+2n2
當(dāng)n≥4,n∈N*時(shí),3n>(n﹣1)2n+2n2

解析試題分析:(1)令x=1,則a0=2n,令x=2,
,∴Sn=3n﹣2n;  (3分)
(2)要比較Sn與(n﹣2)2n+2n2的大小,即比較:3n與(n﹣1)2n+2n2的大小,
當(dāng)n=1時(shí),3n>(n﹣1)2n+2n2;當(dāng)n=2,3時(shí),3n<(n﹣1)2n+2n2;
當(dāng)n=4,5時(shí),3n>(n﹣1)2n+2n2;  (5分)
猜想:當(dāng)n≥4時(shí)n≥4時(shí),3n>(n﹣1)2n+2n2,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
由上述過程可知,n=4n=4時(shí)結(jié)論成立,
假設(shè)當(dāng)n=k(k≥4)n=k,(k≥4)時(shí)結(jié)論成立,即3n>(n﹣1)2n+2n2,
兩邊同乘以3 得:3k+1>3[(k﹣1)2k+2k2]=k2k+1+2(k+1)2+[(k﹣3)2k+4k2﹣4k﹣2]
而(k﹣3)2k+4k2﹣4k﹣2=(k﹣3)2k+4(k2﹣k﹣2)+6=(k﹣2)2k+4(k﹣2)(k+1)+6>0∴3k+1>[(k+1)﹣1]2k+1+2(k+1)2
即n=k+1時(shí)結(jié)論也成立,
∴當(dāng)n≥4時(shí),3n>(n﹣1)2n+2n2成立.
綜上得,當(dāng)n=1時(shí),3n>(n﹣1)2n+2n2;
當(dāng)n=2,3時(shí),3n<(n﹣1)2n+2n2;當(dāng)n≥4,n∈N*時(shí),3n>(n﹣1)2n+2n2﹣﹣(10分)
考點(diǎn):用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式;數(shù)列的求和;二項(xiàng)式定理的應(yīng)用
點(diǎn)評:本題是中檔題,考查與n有關(guān)的命題,通過賦值法解答固定項(xiàng),前n項(xiàng)和,以及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,考查邏輯推理能力,計(jì)算能力,?碱}型

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