Question

13．（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$）ⁿ展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式的常數(shù)項(xiàng)是180．

Answer 1

分析 由（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$）ⁿ展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，可得n=10．再利用通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$）ⁿ展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，∴n=10．
∴$（\sqrt{x}+\frac{2}{{x}^{2}}）^{10}$的通項(xiàng)公式為：T_r+1=${∁}_{10}^{r}$$（\sqrt{x}）^{10-r}$$（\frac{2}{{x}^{2}}）^{r}$=2^r${∁}_{10}^{r}$${x}^{5-\frac{5r}{2}}$，
令$5-\frac{5r}{2}$=0，解得r=2．
∴展開式的常數(shù)項(xiàng)=${2}^{2}{∁}_{10}^{2}$=180．
故答案為：180．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．